8. Nach diesen Vorbereitungen gehen wir zu unserem Problem. Wir nennen zwei zwischen denselben Meridianen liegende Bögen zweier Breitenzykeln entsprechende Bögen und stellen uns, in Übereinstimmung mit den in Nr. 2 durchgeführten Entwickelungen über die Pseudosphäre, die Aufgabe, eine Rotationsfläche in R anzugeben, auf welcher entsprechende Breitenzykelbögen ß und p durch die Gleichung σ k vereinigt sind. Hier ist o der längs einem Meridian gemessene Abstand der Breitenzykeln und keine Konstante. Die Meridiankurve dieser Fläche nennen wir Tractrix und bezeichnen sie mit T(*). Unseren drei Fällen entsprechend erhalten wir drei Arten von Tractricen, die wir mit (7), (T), und (T), bezeichnen. Wir können nun einfach die obige Gleichung in eine Bedingung für diese Meridiankurve umsetzen. Wir bezeichnen deshalb mit y und y die y-Koordinaten derjenigen beiden Punkte auf der Meridiankurve, von denen bei der Drehung die betrachteten Breitenzykeln beschrieben werden. Ersichtlich können wir nun durch eine zu dieser Drehung konjugierte Drehung die eine Breitenzykelebene in die andere überführen, wodurch und g() in entsprechende Bögen B zweier konzentrischer Zykeln übergehen. Hieraus folgt, dass das Verhältniss Fällen durch die Ausdrücke 8 (0) in den drei Indem wir nach der Fragestellung zurückgreifen, erhalten wir hieraus für die drei Kurven T die Beziehungen wo y und y die y-Koordinaten zweier Punkte und die Kurvenlänge zwischen diesen Punkten bedeuten 9. Aus diesen Gleichungen können wir nun unmittelbar die Differentialgleichungen der drei Kurven T ableiten, indem wir jedesmal nach y differentiieren und dann do aus (2) eintragen. Um dies durchzuführen, schreiben wir zuerst die Gleichungen (3) in die Form Falls wir nun jedesmal do aus der entsprechenden Gleichung (2) eintragen, kommen wir zu folgenden Differentialgleichungen der Kurven (T),, (T), und (T): 2 tg II (yз) √ k2 cos2 II (Y3) — ko2. ko2 10. Aus den hiermit abgeleiteten Differentialgleichungen, wo jedesmal die Wurzelgrösse mit doppeltem Vorzeichen zu rechnen ist, können wir vorläufig einige Resultate ablesen. Vor allem bemerken wir, dass x als Funktion von y bis auf eine additive Konstante bestimmt ist. Dies besagt, dass die Lösungen von (5) durch die zur vorgelegten Drehung konjugierten Drehungen aus einander hervorgehen. Die Gleichung (5′) behält für jeden Wert von k reelle Bedeutung, (5′′) dagegen nur für kk。 und (5") nur für k> k。. dy Κα =0 dx Der Fall k∞ ist jedesmal besonders bemerkenswert. Es ist dann nämlich k: oder y = const. Die Kurve T ist also jedesmal eine Bahnkurve zu der konjugierten Drehung. Die zugehörige Rotationsfläche ist dann die in Nr. 5 besprochene Fläche, die bei jeder zu dem Doppelbüschel gehörenden Schraubung in sich verschoben wird. Auf dieser Fläche sind entsprechende Breitenzykelbögen gleich. 2 Für kk。 ist nach (5") =0 oder x = const. Die Kurven (T), fallen somit ein dx2 dy2 fach mit diesen Geraden zusammen und es ist also die von uns gesuchte Rotationsfläche in diesem Fall eine Ebene. Aus (5') wieder folgt für kk, die Differentialgleichung (0) ist, wo x1 (die Integrationskonstante ist und links das obere oder untere Vorzeichen zu nehmen ist, jenachdem y1 >0 oder <0 ist. Dies ist aber die Gleichung derjenigen vier Geraden, die mit der x-Achse und der Geraden x1 = x," gleichzeitig parallel sind. Es fällt somit (T), mit diesen Geraden zusammen und die zugehörige Rotationsfläche ist einfach aus zwei asymptotischen Kegelmanteln zusammengesetzt. Eigenschaften der Tractrix. 11. Die Kurven Thaben eine einfache Tangenteneigenschaft, die das Analogon zu der bekannten Eigenschaft der Tangente bei der gewöhnlichen Tractrix im Euklid'schen Raum bildet. Bei Ableitung dieser Eigenschaft werden wir jedesmal für die Konstante keine einfache Bedeutung finden. Wir kehren nach der Gleichung (1) zurück. Falls wir hier die Werte von do aus den Gleichungen (4) eintragen, so erhalten wir in den drei Fällen die Beziehungen Wir wollen diese Gleichungen jede für sich näher in Betracht ziehen. 12. Ist in der Gleichung (6') zuerst k<ko, so ist w1<II(y,) und es schneidet somit die Tangente in jedem Punkt der Kurve die x,-Achse. Bezeichnen wir die Länge der Tangente zwischen dem Berührungspunkt und der x,-Achse mit r, so erhalten wir aus dem von r, y, und der x-Achse gebildeten Dreieck die Beziehung Falls wir diese Gleichung mit (6') vergleichen, so sehen wir, dass 2 ist. Hieraus folgt dann insbesondere, dass r längs der ganzen Kurve konstant ist. Die Kurve (T), hat somit für k<k, genau dieselbe Eigenschaft der Tangente wie die Tractrix im Euklid'schen Raum. = Ist k = ko, so ist nach (6') w, 1). Dies steht in Übereinstimmung mit der in Nr. 10 entwickelten Tatsache, dass die Kurve (T), eine mit der x-Achse parallele Gerade ist. Wenn schliesslich kk, ist, so ist nach (6') w,>II (y) und es haben somit die Tangente und die x-Achse eine gemeinsame Senkrechte, die dann eine Gerade 1 = const. ist. Bezeichnen wir das Stück der Tangente zwischen dem Berührungspunkt und dieser Senkrechten mit p, so erhalten wir aus dem von y, der Tangente, der x,-Achse und der Senkrechten gebildeten dreirechtwinkligen Viereck die Beziehung Hieraus schliessen wir, dass p längs der ganzen Kurve konstant ist. 13. Gehen wir jetzt zu der Kurve (T), so bemerken wir sogleich, dass nach der Gleichung (6") der Winkel w konstant ist. Bestimmen wir in diesem Fall die Länge p durch die Gleichung II(p) = 02, und tragen die so festgelegte konstante Länge p längs der Tangente von dem Berührungspunkt ab, so steht die durch den anderen Endpunkt von p gehende Gerade = const. auf p senkrecht. Da weiter nach (6") k und p durch die Gleichung (8) verbunden sind, so sind wir somit zu genau derselben Tangenteneigenschaft gekommen wie in der vorigen Nummer für kko. k: Hierbei ist angenommen, dass k>ko ist. Es kann aber auch kk, sein. Dann ist nach (6") der Winkel 20. Die Kurve ist dann, wie in Nr. 10 hervorgehoben wurde, selbst eine Gerade x2 = const. Die Eigenschaft der Kurve (T), die Geraden = const. isogonal zu schneiden, führt übrigens unmittelbar zur Bestimmung der Kurve. Wird nämlich die Konstante q durch die Gleichung bestimmt und betrachten wir diejenigen beiden aequidistanten Kurven, die im Abstand g von einer Geraden x2 = const. laufen, so schneiden diese offenbar jeden anderen Strahl x2 = const. unter dem Winkel 2. Da aber die Gesamtheit dieser Kurven keine Einhüllende haben, so sind sie die einzigen Kurven, die die genannte Eigenschaft besitzen, und es muss somit (T), eine derartige Kurve sein. Übrigens folgt aus (6′′) und (9), dass q durch die Gleichung mit k verbunden ist. Wir können somit den Satz aussprechen Die Kurve (T) ist eine aequidistante Kurve, die in dem durch die Gleichung (10) bestimmten Abstand q von einer Geraden x const läuft. als 2 x2 = 14. In dem dritten Fall ist nach (6") für endliche Werte von k der Winkel 3 kleiner = 3 Es giebt somit eine von dem radius vector des Berührungspunkts verschiedene Gerade const., die auf der Tangente senkrecht steht. Falls wir nun wieder die Länge der Tangente zwischen dem Berührungspunkt und dieser Senkrechten mit p bezeichnen, so erhalten wir aus dem von der Senkrechten, der Tangente und der 3-Koordinate gebildeten Dreieck die Beziehung cos II (p). Durch Vergleichung mit (6") erhalten wir wieder zwischen k und p die Gleichung (8) und können somit wieder schliessen, dass p längs der ganzen Kurve konstant ist. 15. Die hiermit gewonnenen Ergebnisse fassen wir in folgenden Satz zusammen. Für k<ko schneidet die Tangente der Kurve (T), die x-Achse und es ist die Länge der Tangente zwischen dem Berührungspunkt und dem Schnittpunkt mit der x1-Achse konstant gleich r, wo r durch die Gleichung (7) bestimmt ist. Für k>k, steht in jedem von den drei Fällen die Tangente der Kurve T) auf einer zugehörigen Geraden x = const. senkrecht und es ist die Länge der Tangente zwischen dem Berührungspunkt und der genannten Geraden konstant gleich p, wo p durch die Gleichung (8) festgelegt wird. ko Der Fall kk, ist durchaus als ein Grenzfall zu betrachten. Es ist nämlich dann oder p unendlich gross. Ersichtlich können wir die hiermit gewonnene Tangenteneigenschaft als eine Trajektorieneigenschaft der Kurve aussprechen. Wir erhalten folgenden Satz, wo r und p die obigen Bedeutungen haben: Ko Die Tractric im Raum R ist ortogonale Trajektorie ciner Zykelschaar und zwar für kko zu der Schaar aller Kreise mit dem Radius r, deren Mittelpunkte auf der x-Achse liegen, und für k>ko zu der Schaar aller aequidistanten Kurven, die im Abstand p von den Geraden x= const. laufen. Für kko besteht die ortogonale Zykelschaar ersichtlich aus konzentrischen Grenzkreisen. Für k∞ ist p=0 und es fallen somit die aequidistanten Kurven mit den Geraden const. zusammen. Die Kurve T ist also ein beliebiger Zykel y = const., wie schon in Nr. 10 hervorgehoben wurde. x= ko |