Einleitung.

1. Es giebt bekanntlich unendlich viele hyperbolische Räume, deren jeder durch einen bestimmten Wert einer positiven, reellen Konstante k festgelegt wird. Der Euklid'sche Raum ist dabei als Grenzfall für k∞ aufzufassen.

In dem hyperbolischen Raum R gilt für die Seiten und die Winkel des geradlinigen Dreiecks eine Trigonometrie, deren Formeln aus der gewöhnlichen sphärischen Trigonometrie des Euklid'schen Raums dadurch formal hervorgehen, dass wir den Radius der Kugel mit ki ersetzen. Diese Formeln gehen für k∞ in die Formeln der ebenen Trigonometrie des Euklid'schen Raums über.

2.

Es giebt nun weiter bekanntlich in dem Euklid'schen Raum R, eine Rotationsfläche, die Pseudosphäre, deren geodätische Dreiecke genau die Trigonometrie in R aufweisen 1). Die Meridiankurve der Fläche ist die Tractrix von Huyghens mit der konstanten Tangentenlänge k zwischen dem Berührungspunkt und der Asymptote.

Diese Eigenschaft der Pseudosphäre ist einfach abzuleiten. Wählen wir nämlich die Asymptote der Tractrix zur x-Achse und bezeichnen mit den Winkel zwischen der y-Koy ordinate und der Tangente, so ist cos o 1. Andererseits ist aber, wenn wir das Bogenele= k ment der Kurve mit do bezeichnen, cos ∞ =

und also

dy

Infolgedessen ist

do

wo y und yyy) die Ordinaten zweier Punkte der Kurve und σ den längs der Kurve gemessenen Abstand der Punkte bedeuten. Hieraus folgt dann, dass zwei zwischen denselben

1

1) Dies ist eine bekannte Eigenschaft aller Flächen mit der konstanten negativen Krümmung k2 obwohl wir hier für unsere Zwecke nur die Pseudosphäre besonders hervorheben.

(0)

Meridianen liegende Bögen und zweier Breitenkreise auf der Pseudosphäre durch die

Führen wir nunmehr krummlinige Koordinaten ein, wobei in gewöhnlicher Weise die Meridiane und Breitenkreise zu Kurven u = const. und v const. gewählt werden, so ist auf Grund dieser Eigenschaft das Bogenelement ds auf der Fläche durch die Formel

Dies ist aber genau dieselbe Formel, die wir für das Bogenelement in der Ebene in R erhalten, falls wir daselbst als Kurven u = const. ein Büschel paralleler Geraden und als Kurven const. die zugehörigen Grenzkreise wählen. Es lässt sich somit die Pseudosphäre v = auf die Ebene in R abwickeln und zwar so, dass die Meridiane in parallele Geraden überge hen und die Breitenkreise in darauf ortogonale Grenzkreise. Da bei dieser Abwickelung die geodätischen Linien auf der Pseudosphäre in die Geraden der Ebene übergehen, so ist die oben hervorgehobene Eigenschaft der geodätischen Dreiecke auf der Pseudosphäre bewiesen.

3. In vorliegender Abhandlung werde ich in einem beliebigen hyperbolischen Raum Rk. Rotationsflächen aufstellen, die das Analogon zu der Pseudosphäre in R bilden. Diese Flächen hängen wie die Pseudosphäre von einem Parameter k ab und es wird für jeden Wert von k auf den zugehörigen Flächen in R für die geodätischen Dreiecke die ebene Trigonometrie des Raums R gelten.

k

ko

Die Rotationsflächen in einem hyperbolischen Raum.

4. Vorläufig werde ich den Begriff der Rotationsfläche in einem hyperbolischen Raum festlegen.

In einem hyperbolischen Raum giebt es drei Arten von Ebenenbüscheln. Das Büschel erster Art besteht aus allen Ebenen, die durch eine Raumgerade gehen. Die Ebenen des Büschels zweiter Art sind mit einander parallel, während schliesslich bei dem Büschel dritter Art sämtliche Ebenen des Büschels auf einer Raumgeraden senkrecht stehen.

Es gehört nun ersichtlich zu jedem Büschel ein Ortogonalbüschel von Ebenen, welches mit dem gegebenen zusammen ein Doppelbüschel bildet. Ist das gegebene Büschel von der ersten oder dritten Art, so ist offenbar das Ortogonalbüschel bezw. von der dritten oder ersteu Art, und es wird dann jedesmal das Doppelbüschel aus allen durch eine Raumgerade gehenden und allen auf derselben Geraden senkrechten Ebenen zusammengesetzt. Wir nennen dann das Doppelbüschel eigentlich und die genannte Raumgerade die Achse des Doppelbüschels. Ist das gegebene Büschel von der zweiten Art, so ist bekanntlich auch das Ortogonalbüschel von der zweiten Art. Sie bilden dann ein uneigentliches Doppelbüschel.

Es giebt nun ersichtlich Bewegungen des Raums, die ein Doppelbüschel in sich so überführen, dass die Ebenen des einen Büschels Bahnebenen und die des anderen Niveauebenen

der Bewegung sind. Wir nennen jede derartige Bewegung eine Drehung. Es gehört dann offenbar zu jedem Doppelbüschel zwei Schaaren von Drehungen, jenachdem das eine oder andere Ebenenbüschel als Bahnebenen gewählt wird. Wir nennen diese Drehungen konjugierte Drehungen. Bei dem eigentlichen Doppelbüschel sind die konjugierten Drehungen ersichtlich von verschiedenem Typus und wir nennen sie dann Drehungen erster oder dritter Art, jenachdem das Niveauebenenbüschel von der ersten oder dritten Art ist. Bei dem uneigentlichen Doppelbüschel entsteht nur noch ein Typus von Drehungen, die wir dann Drehungen zweiter Art nennen.

Bei dem eigentlichen Doppelbüschel bleibt die Achse Punkt für Punkt fest oder aber sie wird in sich verschoben, jenachdem die Drehung von der ersten oder dritten Art ist. Sonst beschreibt bei jeder Drehung jeder Raumpunkt einen Zykel und zwar einen Kreis, einen Grenzkreis oder eine aequidistante Kurve, jenachdem eine Drehung erster, zweiter oder dritter Art vorliegt. Bei der Drehung dritter Art handelt es sich ersichtlich um eine Schiebung des Raums längs der Achse des Doppelbüschels.

Falls wir zwei konjugierte Drehungen zusammensetzen, entsteht eine Schraubung des Raums und zwar eine eigentliche oder uneigentliche Schraubung jenachdem das Doppelbüschel eigentlich oder uneigentlich ist.

5. Bei einer Drehung beschreibt eine in einer Niveauebene liegende Kurve eine Rotationsfläche. Wir sagen dabei, dass die Fläche von derselben Art ist wie die zugehörige erzeugende Drehung. Die verschiedenen Lagen der Ausgangskurve bei der Drehung nennen wir Meridiane und die von den Punkten der Kurve beschriebenen Zykeln Breitenzykeln auf der Fläche. Die Meridiane und Breitenzykeln werden von den Niveau- bezw. Bahn-ebenen ausgeschnitten.

Eine besonders bemerkenswerte Klasse von Rotationsflächen wollen wir sogleich hervorheben. Sie entstehen dadurch, dass wir als Meridiankurve die Bahnkurve einer Drehung wählen und dann die konjugierte Drehung ausüben. Bei dieser Fläche sind sowohl die Meridiane als die Breitenzykeln Zykeln und zwar ist bei dem eigentlichen Doppelbüschel die eine dieser Kurven ein Kreis und die andere eine aequidistante Kurve, während sie bei dem uneigentlichen Doppelbüschel beide Grenzkreise sind. In dem letzteren Fall ist die Fläche einfach eine Grenzkugel. In dem ersteren Fall erhalten wir eine Fläche, die dadurch entsteht, dass eine aequidistante Kurve zu der Achse um diese herum gedreht wird, oder aber eine Fläche, die von einem Kreis beschrieben wird, dessen Mittelpunkt längs der Achse gleitet, während seine Ebene auf der Achse senkrecht verbleibt. Diese Flächen sind aber nicht gestaltlich verschieden und wir kommen somit auch bei dem eigentlichen Doppelbüschel zu einem einzigen Flächentypus. Diese Fläche bildet dabei das Analogon zu dem Kreiszylinder in dem Euklid'schen und der Clifford'schen Fläche in dem elliptischen Raum.

Offenbar gehen die hiermit zu dem Doppelbüschel erklärten Flächen bei allen zu dem Doppelbüschel gehörenden Schraubungen in sich über.

Koordinaten in der Ebene.

6. Die Rotationsfläche entsteht durch Drehung einer Kurve, die in einer Niveauebene E liegt. Wir wollen nun vorläufig geeignete Koordinaten in E einführen und gewisse vorbereitende Formeln zusammenstellen.

Es giebt in E zwei ausgezeichnete Kurvenschaaren, die ein Ortogonalsystem bilden, nämlich die Spurlinien der Bahnebenen und die zu diesem Strahlenbüschel gehörende ortogonale Zykelschaar. Wir wählen die Koordinaten jedesmal so aus, dass die Kurven x = const. und y const. bezw. mit den Strahlen und Zykeln zusammenfallen. Bei der konjugierten. Drehung sind dann diese Kurven einfach Niveau- und Bahn-kurven.

=

Bei der Drehung erster Art stehen alle die genannten Spurlinien auf der Achse des Doppelbüschels senkrecht und bilden somit ein Büschel dritter Art mit dieser Achse als Büschelpolare. Wir wählen diese Polare zur x-Achse und messen die x-Koordinate von einem festen Ausgangspunkt. Die y-Koordinate wird längs einem Büschelstrahl von der x-Achse aus gemessen. Wir nennen die Koordinaten x1 und y1.

Bei der Drehung zweiter Art sind die Spurlinien parallel und bilden somit ein Büschel zweiter Art. Hier werden die Koordinaten x2 und 12 genau so wie im ersten Fall festgelegt nur mit dem Unterschied, dass wir hier einen beliebigen Grenzkreis aus der Ortogonalschaar zur Kurve 20 wählen. yz wird nach der konvexen Seite dieses Grenzkreises positiv gerechnet.

Bei der Drehung dritter Art gehen alle die oben genannten Spurlinien durch den Schnittpunkt zwischen der Ebene E und der Achse des Doppelbüschels und bilden somit ein Büschel erster Art. Wir wählen jetzt als x-Koordinate den Winkel zwischen einem Büschelstrahl und einem festen Ausgangsstrahl und messen y als radius vector längs dem Büschelstrahl. Wir nennen die Koordinaten x und yз.

7. Liegt nun in irgend einem Fall eine Kurve

y = y (x)

vor, so bezeichnen wir mit den Winkel zwischen der Tangente und der y-Koordinate und mit do das Bogenelement der Kurve. Es ist dann offenbar

Bezeichnen wir nun weiter mit do' das Bogenelement auf der durch den Kurvenpunkt (x, y) gehenden Kurve y = const., so ist do2 = do'2+ dy2. Da in unseren drei Fällen die Beziehungen

gelten, wo ko die Konstante des hyperbolischen Raums bedeutet, so folgen für das Bogenelement der Kurve in den drei Fällen die Gleichungen