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Bei dem Beweis benützen wir das rechtwinklige Dreieck OBP und erhalten hieraus cot II (a)

ki cot x': oder, falls wir k

eintragen, cos (p)

cos II (p)

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k (51)

cotx' = cot II (a).

ko

sin II (y) In demselben Dreieck ist aber weiter sin II (a)

sin 1 (p)

Falls wir hier t aus (45) eintra

gen und cot II (a) berechnen, so erhalten wir

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Es ist also X, II (a) und infolgedessen nach (49) und (51) auch x2= x'. 2

2 Mit Hilfe der Gleichungen (50) nimmt nun die Gleichung (48) die Form an

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--6-1)

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wo X=X Xo

- r' gesetzt ist. Offenbar ist dann | X | der Winkel, den die Ge. 2

k rade OB mit der Geraden x=X+

bildet. Wählen wir also die letzte Gerade zum

2 Ausgangsstrahl bei der Koordinatenbestimmung, was darauf hinauskommt, dass wir die Inte

k grationskonstante * =

setzen, so wird X einfach der Azimuth der Geraden OB

2 und es stellt somit

X = X

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diejenige Gerade x =const. dar, die auf der Tangente senkrecht steht.

Aus diesen Überlegungen folgt nun wieder die Enveloppeneigenschaft in dem vorliegenden Fall. Ziehen wir nämlich diejenigen Geraden x =const., die mit der Tangente parallel sind, so bilden diese mit der genannten Geraden x= X den Winkel 11 (a). Nach (52) haben

. dann diese Geraden die Gleichungen

ko (53)

X

k

= x (1 **)

=

Hieraus folgt genau wie in den übrigen Fällen die Enveloppeneigenschaft. Weil k>k, ist, so bewegen sich die beiden Geraden in derselben Richtung.

31. Hiermit ist die Untersuchung der Tractrix zu Ende geführt. Abschliessend wollen wir nur noch hervorheben, dass für k, = 00 oder also in dem Euklid'schen Raum die Kurve (*'), die gewöhnliche Tractrix ist. Durch einfachen Grenzübergang finden wir dann aus der Formel k=k, cos 11 (0), dass k=r ist. Die Kurve (T(), ist eine mit der x-Achse parallele

* Gerade. Für die übrigen Kurven können wir sagen, dass (T(")eine Gerade und (T(*), ein Kreis ist.

3

Die Pseudosphäre im Raum R.

ko

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32. Indem wir nunmehr auf die Kurve Tk) die zugehörige Drehung des Doppelbüschels ausüben, entsteht eine Rotationsfläche P), die wir Pseudosphäre nennen. Den drei Fällen entsprechend, entstehen drei Arten von Pseudosphären, die wir mit (P),, (P), und (PL),

"" bezeichnen. Über die Gestalt dieser Flächen können wir dann unmittelbar aus den Entwickelungen über die Tractricen bestimmte Schlüsse ziehen.

Was zuerst die Fläche (PKK"), betrifft, so besteht sie ersichtlich aus zwei Mänteln, die in Bezug auf eine Bahnebene der vorliegenden Drehung erster Art symmetrisch liegen und die sich der Achse des Doppelbüschels nach beiden Richtungen unbegrenzt nähern. Für k<ko vereinigen sich die beiden Mäntel längs einer Rückkehrkante in der Symmetrieebene. Diese Rückkehrkante ist ein Kreis, dessen Radius die in dem Vorigen oft vorkommende durch die Gleichung (7) festgelegte Grösse r ist. Für k=k, sind die Mäntel asymptotische Kegelflächen, die sich der Symmetrieebene asymptotisch nähern (Vgl. Nr. 10). Für k> ko nähern sich die Mantelflächen denjenigen beiden aequidistanten Flächen asymptotisch, die in dem Abstand von der Symmetrieebene liegen, wo q durch die Gleichung (28) mit k zusammenhängt.

Die Fläche (Pc)ist aus zwei aequidistanten Flächen zu einer Bahnebene der Drehung zweiter Art zusammengesetzt, die symmetrisch zu dieser Ebene in dem Abstand q liegen, wo q durch die Gleichung (10) mit k zusammenhängt. Insbesondere ist für k=k, die Fläche (P**")z selbst eine Bahnebene (Vgl. Nr. 10).

Die Fläche (PA)schliesslich besteht ebenfalls aus zwei in Bezug auf eine Bahnebene der zugehörigen Drehung dritter Art symmetrischen Mänteln, die sich längs einer Rückkehrkante in der Symmetrieebene vereinigen. Diese Rückkehrkante ist eine aequidistante Kurve, die im Abstand p von der Achse des Doppelbüschels läuft, wo p die oben oft vorkommende durch die Gleichung (8) mit k zusammenhörende Grösse ist.

Für k=00 erhalten wir jedesmal, wie schon in Nr. 10 hervorgehoben wurde, diejenigen Flächen, die bei allen zu dem Doppelbüschel gehörenden Schraubungen in sich verschoben werden. Speziell ist (Plecom"), eine Grenzkugel. Die Flächen (Paco, und (P.'), sind nicht gestaltlich verschieden, sondern gehören beide denjenigen in Nr. 5 näher besprochenen Flächen an, die bei den zu einem eigentlichen Doppelbüschel gehörenden Schraubungen in sich übergehen.

Ist ko = co oder liegt also der Euklid’sche Raum vor, erhalten wir daselbst in (PC), die gewöhnliche Pseudosphäre mit dem Parameter k. (Po), und (pe '); sind Kreiszylinder und (PC), eine Ebene.

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2

k)

33. Wir führen nunmehr auf der Pseudosphäre P.) krummlinige Koordinaten u, v ein, so dass die Kurven u=const. und v=const. bezw. mit den Meridianen und den Breitenzy

. . keln zusammenfallen. Wir wählen deshalb einen Meridian und einen Breitenzykel zu Ausgangskurven und legen durch den Flächenpunkt einen Meridian. Danach bezeichnen wir mit v den längs diesem Meridian gemessenen Abstand des Flächenpunkts von dem Ausgangsbreitenzykel und mit u den Bogen auf diesem Zykel zwischen dem Ausgangsmeridian und dem durch den Flächenpunkt gehenden Meridian. v wird in derjenigen Richtung positiv gerechnet, in der entsprechende Breitenzykelbögen kleiner werden.

Dies festgelegt können wir offenbar aus der Definition der Fläche schliessen, dass das dem Bogenelement du auf dem Ausgangsbreitenzykel entsprechende Bogenelement auf

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dem durch den Flächenpunkt (u, v) gehenden Breitenzykel gleich e du ist. Infolgedessen er: halten wir dann für das Bogenelement ds auf der Pseudosphäre P. die Beziehung

ko

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P\h)

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k

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34. Die hiermit entwickelte Formel (54) gestattet wichtige Schlüsse über die Fläche

zu ziehen. Indem wir auch k, als Parameter auffassen und somit Flächen in verschiedenen Räumen in Betracht ziehen, können wir offenbar sogleich schliessen, dass alle Flächen p.) mit demselben k auf einander abwickelbar sind. Bei dieser Abwickelung, die so stattfindet, dass Flächenpunkte mit denselben Koordinaten (u, v) auf den verschiedenen Flächen einander zugewiesen werden, gehen ersichtlich die Meridiane und Breitenzykeln wieder in Meridiane und Breitenzykeln über.

Unter den Flächen Patie mit demselben k kommt nun jedesmal auch die Ebene (P.*'), im Raum R, vor. Infolgedessen können wir schliessen, dass die Fläche Proton im Raum Rx, auf die Ebene. im Raum R, abwickelbar ist Bei dieser Abwickelung gehen die Meridiane in ein Büschel paralleler Geraden über, während die, Breitenzykeln auf das zugehörige Ortogonalbüschel von Grenzkreisen abgebildet werden. Die geodätischen Linien auf der Fläche gehen in Geraden in der Ebene über. Infolgedessen können wir folgenden Satz aussprechen:

Die Trigonometrie der geodätischen Dreiecke auf der Pseudosphäre Parmen im Raum Rx. ist mit der ebenen Trigonometrie im Raum R, identisch.

Hiermit haben wir die in Nr. 3 angegebene Aufgabe vollständig erledigt.

Für die aequidistante Fläche (PKK"), enthält dieser Satz die früher schon wohlbekannte Tatsache, dass die Trigonometrie ihrer geodätischen Dreiecke mit der ebenen Trigonometrie des Raums R, zusammenfällt, wo k mit dem Abstand q der Fläche von ihrer Polarebene durch die Gleichung (10) zusammenhängt.

Für k=00 erhalten wir aus dem obigen Satz insbesondere das einfache Ergebniss, dass auf denjenigen Flächen, die bei allen zu einem Doppelbüschel gehörenden Schraubungen in sich verschoben werden, die Geometrie der geodätischen Linien euklidisch ist. Wir sind somit durch unsere Untersuchungen zu zwei Typen von Rotationsflächen gekommen, auf denen die Geometrie euklidisch ist; es sind diese die in Nr. 5 näher betrachteten Flächen.

Für ko =o0 d. h. in dem Euklid'schen Raum kommen wir auf die bekannte Eigenschaft der gewöhnlichen Pseudosphäre zurück. Ist dabei noch k = 00, erhalten wir als Grenzfälle für die in Nr. 5 betrachteten Flächen die Euklid'sche Ebene und den Euklid'schen Kreiszylinder, deren geodätische Dreiecke ja die ebene Euklid'sche Trigonometrie aufweisen.

2

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ko

k, 11

2

35. Abschliessend wollen wir noch eine bemerkenswerte Tatsache hervorheben. Die Flächen Partner mit demselben ko und demselben k sind ersichtlich auf einander biegbar, weil sie nämlich in demselben Raum liegen und auf einander abwickelbar sind. Für k < ko hat diese Bemerkung keine Bedeutung, denn es giebt in diesem Fall nur noch die eine Fläche (P). Aber schon für k=ko giebt es zwei Flächen, nämlich den asymptotischen Kegel (Promo), und die Ebene (Pt"), die selbstverständlich auf einander biegbar sind. Für k > ko schliesslich haben wir drei verschiedene Flächen P.) mit demselben k, und demselben k, nämlich (Putri), (PC")und (PKK). Von diesen ist (P"), eine aequidistante Fläche und wir kön

PR nen somit schliessen, dass die Flächen (P<"), und (P)durch Biegung aus der aequidistanten Fläche (P.K"), entstehen. Für k=0 folgt dann hieraus, dass die in Nr. 5 betrachteten beiden Flächenarten Bie.

: gungsflächen von einander sind. Dies besagt, dass diejenigen Flächen, die bei allen zu einem eigentlichen Doppelbüschel gehörenden Schraubungen in sich verschoben werden, durch Biegung aus der Grenzkugel entstehen. Dies entspricht der Tatsache, dass im Euklid'schen Raum der Krezyliisnder durch Biegung aus der Ebene entsteht, was ja auch hier zum Vorschein kommt, falls wir noch ko=00 setzen. Die Biegung findet auch in entsprechender Weise statt, indem nämlich ein Parallelstreifen zwischen zwei parallelen Grenzkreisen auf der Grenzkugel zusammengebogen wird.

ko

(k)

1

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