mortalité, tout croît suivant la même progression géométrique dont on a le rapport constant des termes consécutifs, par l'observation des naissances annuelles à deux époques.

Une table de mortalité, représentant les probabilités de la vie humaine; on peut déterminer à son moyen, la durée des mariages. Supposons pour simplifier, que la mortalité soit la même pour les deux sexes; on aura la probabilité que le mariage subsistera un an, ou deux, ou trois, etc.; en formant une suite de fractions dont le dénominateur commun soit le produit des deux nombres de la table, correspondans aux âges des conjoints, et dont les numérateurs soient les produits successifs des nombres correspondans à ces âges augmentés d'une, de deux, de trois, etc. années. La somme de cés fractions, augmentée d'un demi, sera la durée moyenne du mariage, l'année étant prise pour unité. Il est facile d'étendre la même règle, à la durée moyenne d'une association formée de trois ou d'un plus grand nombre d'individus. Des bénéfices des établissemens qui dépendent de la probabilité des évènemens.

Rappelons ici ce que nous avons dit en par→ lant de l'espérance. On a vu que pour obtenir

l'avantage qui résulte de plusieurs évènemens simples dont les uns produisent un bien, et les autres, une perte; il faut ajouter les produits de la probabilité de chaque évènement favorable, par le bien qu'il procure, et retrancher de leur somme, celle des produits de la probabilité de chaque évènement défavorable, par la perte qui y est attachée. Mais quel que soit l'avantage exprimé par la différence de ces sommes, un seul évènement composé de ces évènemens simples, ne garantit point de la crainte d'éprouver une perte réelle. On conçoit que cette crainte doit diminuer lorsque l'on multiplie l'évènement composé. L'analyse des probabilités conduit à ce théorème général.

Par la répétition d'un évènement avantageux, simple ou composé, le bénéfice réel devient de plus en plus probable, et s'accroît sans cesse : il devient certain, dans l'hypothèse d'un nombre infini de répétitions; et en le divisant par ce nombre, le quotient ou le bénéfice moyen de chaque évènement, est l'espérance mathématique elle-même, ou l'avantage relatif à l'évènement. Il en est de même de la perte qui devient certaine à la longue, pour peu que l'évènement soit désavantageux.

Ce théorème sur les bénéfices et les pertes,

est analogue à ceux que nous avons donnés précédemment sur les rapports qu'indique la répétition indéfinie des évènemens simples ou composés; et comme eux, il prouve que la régularité finit par s'établir dans les choses mêmes, les plus subordonnées à ce que nous nommons hasard.

Lorsque les évènemens sont en grand nombre, l'Analyse donne encore une expression fört simple de la probabilité que le bénéfice réel sera compris dans des limites déterminées, expression qui rentre dans la loi générale de la probabilité, que nous avons donnée ci-dessus, en parlant des probabilités qui résultent de la multiplication indéfinie des évènemens.

C'est de la vérité du théorème précédent, que dépend la stabilité des établissemens fondés sur les probabilités. Mais pour qu'il puisse leur être appliqué, il faut que ces établissemens, par de nombreuses affaires, multiplient les évènemens avantageux.

On a fondé sur les probabilités de la vie humaine, divers établissemens, tels que les rentes viagères et les tontines. La méthode la plus générale et la plus simple de calculer les bénéfices et les charges de ces établissemens, consiste à les réduire en capitaux actuels. L'intérêt an

nuel de l'unité, est ce que l'on nomme taux de l'intérêt. A la fin de chaque année, un capital acquiert pour facteur, l'unité plus le taux de l'intérêt; il croît donc suivant une progression géométrique dont ce facteur est la raison. Ainsi par l'effet du temps, il devient immense. Si, par exemple, le taux de l'intérêt estou de cinq pour cent; le capital double à fort peu près en quatorze ans, quadruple en vingt-neuf ans, et dans moins de trois siècles, il devient deux millions de fois plus considérable..

Unaccroissement aussi prodigieuxa fait naître l'idée de s'en servir, pour amortir la dette publique. Si l'on crée un premier fonds d'amortissement que l'on place sans cesse avec les intérêts, sur les effets publics, en profitant sur-tout des momens de baisse; et si, lorsque les besoins de l'État obligent à faire des emprunts, on en consacre une partie, à l'accroissement du fonds d'amortissement; il est visible que ces opérations auront le double avantage d'accroître ce fonds, et de soutenir le crédit et les effets publics; et qu'à la longue, la caisse d'amortissement absorbera une grande partie de la dette nationale. D'heureuses expériences ont pleinement confirmé ces avantages. Mais la fidélité dans les engagemens et la stabilité, si nécessaires au

succès de pareils établissemens, ne peuvent être bien garanties, que par un gouvernement dans lequel la puissance législative est divisée en plusieurs pouvoirs indépendans. La confiance qu'inspire le concours nécessaire de ces pouvoirs, double la force de l'État; et le Souverain lui-même gagne alors en puissance légale, beaucoup plus qu'il ne perd en puissance arbitraire.

Il résulte de ce qui précède, que le capital actuel équivalent à une somme qui ne doit être payée qu'après un certain nombre d'années, est égal à cette somme multipliée par la probabilité qu'elle sera payée à cette époque, et divisée par l'unité augmentée du taux de l'intérêt et élevée à une puissance exprimée par le nombre de ces années.

Il est facile d'appliquer ce principe, aux rentes viagères sur une ou sur plusieurs têtes, et aux caisses d'épargne et d'assurance d'une nature quelconque. Supposons que l'on se propose de former une table de rentes viagères, d'après une table donnée de mortalité. Une rente viagère payable au bout de cinq ans, par exemple, et réduite en capital actuel, est par ce principe, égale au produit des deux quantités suivantes, savoir, la rente divisée par la cinquième puissance de