valeur absolue, de sa valeur relative celle-ci et onoo himent La valeur relative d'une somme petite, est égale à sa valeur absolue visée par le bien total de la personne intéressée, Cela suppose que tout homme a un bien quelconque dont la valeur ne peut jamais être supposée nulle. En effet, celui même qui ne possède rien, donne toujours au produit de son travail et à Let ses espérances, une valeur au moins égale à ce qui lui est rigoureusement nécessaire pour vivre. Si l'on applique l'analyse, au principe que nous venons d'exposer; on obtient la règle sui vante. En désignant par l'unité, la partie de la fortune d'un individu, indépendante de ses expectatives; si l'on détermine les diverses valeurs que cette fortune peut recevoir en vertu de ces expec tatives, et leurs probabilités; le produit de ces valeurs élevées respectivement aux puissances indiquées par ces probabilités, sera la fortune physique qui procurerait à l'individu, le même avantage moral qu'il reçoit de la partie de sa fortune, prise pour unité, et de ses expectatives; en retranchant donc l'unité, de ce produit; la différence sera l'accroissement de la fortune physique, dû aux expectatives: nous nommerons cet accroissement, espérance morale. II' est facile de voir qu'elle coïncide avec l'espérance mathématique, lorsque la fortune prise pour unité, devient infinie par rapport aux variations qu'elle reçoit des expectatives. Mais lorsque ces variations sont une partie sensible de cette unité, les deux espérances peuvent différer très sensiblement entre elles. Cette règle conduit à des résultats conformes aux indications du sens commun, que l'on peut par ce moyen, apprécier avec quelqu'exactitude. Ainsi dans la question précédente, on trouve que si la fortune de Paul est de deux cents francs; il ne doit pas raisonnablement mettre au jeu, plus de neuf francs. La même règle conduit encore à répartir le danger, sur plusieurs parties d'un bien que l'on attend, plutôt que d'exposer ce bien tout entier au même danger. Il en résulte pareillement qu'au jeu le plus égal, la perte est toujours relativement plus grande que le gain. En supposant par exemple, qu'un joueur ayant une fortune de cent francs, en expose cinquante au jeu de croix ou pile; sa fortune après sa mise au jeu, sera réduite à quatre-vingt-sept francs, c'est-à-dire que cette dernière somme procurerait au joueur, le même avantage moral, que l'état de sa fortune après sa mise. Le jeu est donc désavantageux, dans le cas même où la mise est égale au produit de la somme espérée, par sa probabilité. On peut juger par là de l'immoralité des jeux dans lesquels la somme espérée est au-dessous de ce produit. Ils ne subsistent que par les faux raisonnemens et par la cupidité qu'ils fomentent, et qui portant le peuple à sacrifier son nécessaire, à des espérances chimériques dont il est hors d'état d'apprécier l'invraisemblance, sont la source d'une infinité de maux. Le désavantage des jeux, l'avantage de ne pas exposer au même danger, tout le bien qu'on attend, et tous les résultats semblables indiqués par le bon sens, subsistent, quelle que soit la fonction de la fortune physique qui, pour chaque individu, exprime sa fortune morale. Il suffit que le rapport de l'accroissement de cette fonction à l'accroissement de la fortune physique, diminue à mesure que celle-ci augmente. Des méthodes analytiques du Calcul des L'application des principes que nous venons d'exposer, aux diverses questions de probabilité, exige des méthodes dont la recherche a donné naissance à plusieurs branches de l'Analyse, et spécialement à la théorie des combinaisons, et au calcul des différences finies. Si l'on forme le produit des binomes, l'unité plus une première lettre, l'unité plus une seconde lettre, l'unité plus une troisième lettre, et ainsi de suite, jusqu'à n lettres; en retranchant l'unité, de ce produit développé, on aura la somme des combinaisons de toutes ces lettres prises une à une, deux à deux, trois à trois, etc.; chaque combinaison ayant l'unité, pour coefficient. Pour avoir le nombre des combinaisons de ces n lettres prises sàs, on observera que si l'on suppose ces lettres égales entre elles, le produit précédent deviendra la puissance n du binome, un plus la première lettre; ainsi le nombre des combinaisons des n lettres prises s à s, sera le coefficient de la puissance s de la première lettre, dans le développement de ce binome; on aura donc ce nombre, par la formule connue du binome. On aura égard à la situation respective des lettres dans chaque combinaison, en observant que si l'on joint une seconde lettre à la première, on peut la placer au premier et au second rang; ce qui donne deux combinaisons. Si l'on joint à ces combinaisons, une troisième lettre, on peut lui donner dans chaque combinaison, le premier, le second et le troisième rang; ce qui forme trois combinaisons relatives à chacune des deux autres; en tout, six combinaisons. De là il est facile de conclure que le nombre des arrangemens dont s lettres sont susceptibles, est le produit des nombres depuis l'unité jusqu'à s; il faut donc pour avoir égard à la situation respective des lettres, multiplier par ce produit, le nombre des combinaisons des n lettres, prises s à s; ce qui revient à supprimer le dénominateur du coefficient du terme du binome, qui exprime ce nombre. Imaginons une loterie composée de n numéros dont r sortent à chaque tirage: on demande la probabilité de la sortie de s numéros donnés, dans un tirage. Pour y parvenir, on déterminera le nombre des combinaisons des n numéros pris sà s. Ensuite, on déterminera le nombre des combinaisons de r numéros pris semblablement s à s. Le rapport de ce dernier nombre au |