l'idée la plus simple et la plus juste des logarithmes qui ne sont en effet, que les exposans d'une grandeur dont les puissances successives, en croissant par degrés infiniment petits, peuvent représenter tous les nombres.

Mais l'extension la plus importante que cette notation ait reçue, est celle des exposans variables; ce qui constitue le calcul exponentiel, l'une des branches les plus fécondes de l'Analyse moderne. Leibnitz a indiqué, le premier, les transcendantes à exposans variables, et par là, il a complété le système des élémens dont une fonction finie peut être composée; car toute fonction finie explicite d'une variable, se réduit en dernière analyse, à des grandeurs simples, combinées par voie d'addition, de soustraction, de multiplication et de division, et élevées à des puissances constantes ou variables. Les racines des équations formées de ces élémens, sont des fonctions implicites de la variable. C'est ainsi qu'une variable ayant pour logarithme, l'exposant de la puissance qui lui est égale dans la série des puissances du nombre dont le logarithme hyperbolique est l'unité, le logarithme d'une variable, en est une fonction implicité.

Leibnitz imagina de donner à sa caractéris

tique différentielle, les mêmes exposans qu'aux grandeurs; mais alors, ces exposans, au lieu d'indiquer les multiplications répétées d'une même grandeur, indiquent les différentiations répétées d'une même fonction. Cette extension nouvelle de la notation cartésienne, conduisit Leibnitz à l'analogie des puissances positives avec les différentielles, et des puissances négatives avec les intégrales. Lagrange a suivi cette analogie singulière, dans tous ses développemens; et par une suite d'inductions, qui peut être regardée comme une des plus belles applications que l'on ait faites de cette méthode, il est parvenu à des formules générales aussi curieuses qu'utiles, sur les transformations des différences et des intégrales les unes dans les autres, lorsque les variables ont des accroissemens finis divers, et lorsque ces accroissemens sont infiniment petits. Mais il n'en a point donné les démonstrations qu'il jugeait difficiles. La théorie des fonctions génératrices étend à des caractéristiques quelconques, la notation cartésienne : elle montre avec évidence, l'analogie des puissances et des opérations indiquées par ces caractéristiques; en sorte qu'elle peut encore être envisagée comme le calcul exponentiel des caractéristiques. Tout ce qui con

cerne les séries et l'intégration des équations aux différences, en découle avec une extrême facilité.

APPLICATIONS DU CALCUL DES PROBABILITÉS.

Des Jeux.

Les combinaisons que les jeux présentent, ont été l'objet des premières recherches sur les probabilités. Dans l'infinie variété de ces combinaisons, plusieurs d'entre elles se prêtent avec facilité au calcul d'autres exigent des calculs plus difficiles; et les difficultés croissant à mesure que les combinaisons deviennent plus compliquées, le désir de les surmonter et la curiosité ont excité les géomètres à perfectionner de plus en plus, ce genre d'analyse. On à vu précédemment que l'on pouvait facilement déterminer par la théorie des combinaisons, les bénéfices d'une loterie. Mais il est plus difficile de savoir en combien de tirages on peut parier un contre un, par exemple, que tous les numéros seront sortis. n étant le nombre des numéros, r celui des numéros sortans à chaque tirage, et i le nombre inconnu de tirages; Pexpression de la probabilité de la sortie de tous les numéros, dépend de la différence finie nième de la puissance i d'un produit de r nombres consécutifs.

Lorsque le nombre n est considérable, la recherche de la valeur de i, qui rend cette probabilité égale à, devient impossible, à moins qu'on ne convertisse cette différence, dans une série très convergente. C'est ce que l'on fait heureusement par la méthode ci-dessus'indiquée pour les approximations des fonctions de très grands nombres. On trouve ainsi que la loterie étant composée de dix mille numéros dont un seul sort à chaque tirage; il y a du désavantage à parier un contre un, que tous les numéros sortiront dans 95767 tirages, et de l'avantage à faire le même pari pour 95768 tirages. A la loterie de France, ce pari est désavantageux pour 85 tirages, et avantageux pour 86 tirages.

Considérons encore deux joueurs A et B jouant ensemble à croix ou pile, de manière qu'à chaque coup, si croix arrive, A donne un jeton à B qui lui en donne un, si pile arrive : le nombre des jetons de B est limité; celui des jetons de A est illimité; et la partie ne doit finir que lorsque B n'aura plus de jetons. On demande en combien de coups, on peut parier un contre un, que la partie sera terminée. L'expression de la probabilité que la partie sera terminée dans un nombre i de coups, est donnée par une suite qui renferme un grand nombre de termes et de

facteurs, si le nombre des jetons de B est considérable; la recherche de la valeur de l'inconnue i qui rend cette suite égale à, serait donc alors impossible, si l'on ne parvenait pas à réduire la suite dans une série très convergente. En lui appliquant la méthode dont on vient de parler, on trouve une expression fort simple de l'inconnue, de laquelle il résulte que si, par exemple, B a cent jetons; il y a un peu moins d'un contre un à parier que la partie sera finie cn 23780 coups, et un peu plus d'un contre un à parier qu'elle sera finie dans 23781 coups.

Ces deux exemples joints à ceux que nous avons déjà donnés, suffisent pour faire voir comment les problèmes sur les jeux ont pu contribuer à la perfection de l'Analyse.

Des inégalités inconnues qui peuvent exister entre les chances que l'on suppose égales.

Les inégalités de ce genre ont sur les résultats du calcul des probabilités, une influence sensible qui mérite une attention particulière. Considérons le jeu de croix ou pile, et supposons qu'il soit également facile d'amener l'une ou l'autre face de la pièce. Alors la probabilité d'amener croix au premier coup est, et celle de l'amener deux fois de suite, est. Mais s'il