existe dans la pièce, une inégalité qui fasse paraître une des faces plutôt que l'autre, sans que l'on connaisse quelle est la face favorisée par cette inégalité; la probabilité d'amener croix au premier coup sera toujours; parce que dans l'ignorance où l'on est de la face que cette inégalité favorise, autant la probabilité de l'évènement simple est augmentée, si cette inégalité lui est favorable, autant elle est diminuée, si l'inégalité lui est contraire. Mais dans cette ignorance même, la probabilité d'amener croix deux fois de suite, est augmentée. En effet, cette probabilité est celle d'amener croix au premier coup, multipliée par la probabilité que l'ayant amené au premier coup, on l'amènera au second; or son arrivée au premier coup est un motif de croire que l'inégalité de la pièce le favorise; l'inégalité inconnue augmente donc alors la probabilité d'amener croix au second coup; elle accroît par conséquent le produit des deux probabilités. Pour soumettre cet objet au calcul, supposons que cette inégalité augmente d'un vingtième, la probabilité de l'évènement simple qu'elle favorise. Si cet évènement est croix, sa probabilité sera plus ou, et la probabilité. de l'amener deux fois de suite, sera le carré de 1 ou. Si l'évènement favorisé est pile, la

40

400

probabilité de croix sera moins ou, et la probabilité de l'amener deux fois de suite sera. Comme on n'a d'avance, aucune raison de croire que l'inégalité favorise l'un de ces événemens plutôt que l'autre; il est clair que pour avoir la probabilité de l'évènement composé croix croix, il faut ajouter les deux probabilités précédentes, et prendre la moitié de leur somme; ce qui donne 10 pour cette probabilité qui surpasse, de ou du carré de l'accroissement que l'inégalité ajoute à la possibilité de l'évènement qu'elle favorise. La probabilité d'amener pile pile est pareillement 401; mais les probabilités d'amener croix pile, ou pile croix ne sont chacune, que %; car la somme de ces quatre probabilités, doit égaler la certitude ou l'unité. On trouve ainsi généralement que les causes constantes et inconnues qui favorisent les événemens simples que l'on juge également possibles, accroissent toujours la probabilité de la répétition d'un même évènement simple.

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Dans un nombre pair de coups, croix et pile doivent arriver tous deux, ou un nombre pair ou un nombre impair de fois. La probabilité de `chacun de ces cas est, si les possibilités des deux faces sont égales; mais s'il existe entre

elles, une inégalité inconnue, cette inégalité est toujours favorable au premier cas.

Deux joueurs dont on suppose les adresses égales, jouent avec les conditions qu'à chaque coup, celui qui perd, donne un jeton à son adversaire, et que la partie dure, jusqu'à ce que l'un des joueurs n'ait plus de jetons. Le calcul des probabilités nous montre que pour l'égalité du jeu, les mises des joueurs doivent être en raison inverse de leurs jetons. Mais s'il existe entre leurs adresses, une petite inégalité inconnue; elle favorise celui des joueurs, qui a le plus petit nombre de jetons. Sa probabilité de gagner la partie augmente, si les joueurs conviennent de doubler, de tripler leurs jetons; et elle serait ou la même que la probabilité de l'autre joueur, dans le cas où les nombres de leurs jetons deviendraient infinis, en conservant toujours le même rapport.

On peut corriger l'influence de ces inégalités inconnues, en les soumettant elles-mêmes aux chances du hasard. Ainsi au jeu de croix ou pile, si l'on a une seconde pièce que l'on projette chaque fois avec la première; et que l'on convienne de nommer constamment croix, la face amenée par cette seconde pièce; la probabilité d'amener croix deux fois de suite, avec

la première pièce, approchera beaucoup plus d'un quart, que dans le cas d'une seule pièce. Dans ce dernier cas, la différence est le carré du petit accroissement de possibilité que l'inégalité inconnue donne à la face de la première pièce, qu'elle favorise : dans l'autre cas, cette différence est le quadruple produit de ce carré, par le carré correspondant relatif à la seconde pièce.

Que l'on jette dans une urne, cent numéros depuis un jusqu'à cent, dans l'ordre de la numération, et qu'après avoir agité l'urne, pour mêler ces numéros, on en tire un; il est clair que si le mélange a été bien fait, les probabilités de sortie des numéros, seront les mêmes. Mais si l'on craint qu'il n'y ait entre elles, de petites différences dépendantes de l'ordre suivant lequel les numéros ont été jetés dans l'urne; on diminuera considérablement ces différences, en jetant dans une seconde urne, ces numéros suivant leur ordre de sortie de la première urne, et en agitant ensuite cette seconde urne pour mêler ces numéros. Une troisième urne, une quatrième, etc., diminueraient de plus en plus ces différences déjà insensibles dans la seconde

urne.

Des Lois de la Probabilité, qui résultent de la multiplication indéfinie des évènemens.

Au milieu des causes variables et inconnues que nous comprenons sous le nom de hasard, et qui rendent incertaine et irrégulière, la marche des événemens; on voit naître à mesure qu'ils se multiplient, une régularité frappante qui semble tenir à un dessein, et que l'on a considérée comme une preuve de la providence. Mais en y réfléchissant, on reconnaît bientôt que cette régularité n'est que le développement des possibilités respectives des évènemens simples qui doivent se présenter plus souvent, lorsqu'ils sont plus probables. Concevons, par exemple, une urne qui renferme des boules. blanches et des boules noires; et supposons qu'à chaque fois que l'on en tire une boule, on la remette dans l'urne pour procéder à un nouveau tirage. Le rapport du nombre des boules blanches extraites, au nombre des boules noires extraites, sera le plus souvent très irrégulier dans les premiers tirages; mais les causes variables de cette irrégularité, produisent des effets alternativement favorables et contraires à la marche régulière des événemens, et qui se détruisant mutuellement dans l'ensemble d'un grand nom