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for Principe.

Ile Principe.

Principes généraux du Calcul des Probabilités.

Le premier de ces principes est la définition même de la probabilité qui, comme on l'a vu, est le rapport du nombre des cas favorables, à celui de tous les cas possibles.

Mais cela suppose les divers cas, également possibles. S'ils ne le sont pas, on déterminera d'abord leurs possibilités respectives, dont la juste appréciation est un des points les plus délicats de la théorie des hasards. Alors la probabilité sera la somme des possibilités de chaque cas favorable. Éclaircissons ce principe par un exemple.

Supposons que l'on projette en l'air, une pièce large et très-mince dont les deux grandes faces opposées, que nous nommerons croix et pile, soient parfaitement semblables. Cherchons la probabilité d'amener croix, une fois au moins en deux coups. Il est clair qu'il peut arriver quatre cas également possibles, savoir, croix au premier et au second coup; croix au premier coup et pile au second; pile au premier coup et croix au second; enfin pile aux deux coups. Les trois premiers cas sont favorables à l'événement dont on cherche la

probabilité qui, par conséquent, est égale à 3; ensorte qu'il y a trois contre un à parier que croix arrivera, au moins une fois en deux coups.

On peut ne compter à ce jeu, que trois cas différens, savoir, croix au premier coup, ce qui dispense d'en jouer un second; pile au premier coup et croix au second; enfin pile au premier et au second coup. Cela réduirait la probabilité à, si l'on considérait avec d'Alembert, ces trois cas, comme étant également possibles. Mais il est visible que la probabilité d'amener croix au premier coup est, tandis que celle des deux autres cas est. Le premier cas est un événement simple qui correspond aux deux événemens composés, croix au premier et au second coup, et croix au premier coup, pile au second. Maintenant, si conformément au second principe, on ajoute la possibilité de croix au premier coup, à la possibilité de pile arrivant au premier coup et croix au second; on aura pour la probabilité cherchée, ce qui s'accorde avec ce que l'on trouve dans la supposition où l'on joue les deux coups. Cette supposition ne change rien au sort de celui qui parie pour cet événement: elle sert seulement à réduire les divers cas, à des cas également possibles.

III Principe. Undes points les plus importans de la Théorie des Probabilités, et celui qui prête le plus aux illusions, est la manière dont les probabi→ lités augmentent ou diminuent par leurs combinaisons mutuelles. Si les événemens sont indépendans les uns des autres, la probabilité de l'existence de leur ensemble, est le produit de leurs probabilités particulières. Ainsi la probabilité d'amener un as avec un seul dé, étant un sixième; celle d'amener deux as en projetant deux dés à-la-fois, est un trentesixième. En effet, chacune des faces de l'un, pouvant se combiner avec les six faces de l'autre; il y a trente-six cas également possibles, parmi lesquels un seul donne les deux as. Généralement, la probabilité qu'un événement simple et dans les mêmes circonstances, arrivera de suite, un nombre donné de fois, est égale à la probabilité de cet événement simple, élevée à une puissance indiquée par ce nombre. Ainsi les puissances successives d'une fraction moindre, que l'unité, diminuant sans cesse ; un événement qui dépend d'une suite de probabilités fort grandes, peut devenir extrêmement peu vraisemblable. Supposons qu'un fait nous soit transmis par vingt témoins, de manière que le premier l'ait transmis au second, le second au troisième, et ainsi de suite. Supposons encore que la pro

babilité de chaque témoignage soit égale à 2: celle du fait, résultante des témoignages, sera moindre qu'un huitième. On ne peut mieux comparer cette diminution de la probabilité, qu'à l'extinction de la clarté des objets, par l'interposition de plusieurs morceaux de verre; un nombre de morceaux peu considérable, suffisant pour dérober la vue d'un objet qu'un seul morceau laisse apercevoir d'une manière distincte. Les historiens ne paraissent pas avoir fait assez d'attention à cette dégradation de la probabilité des faits, lorsqu'ils sont vus à travers un grand nombre de générations successives: plusieurs événemens historiques, réputés certains, seraient au moins douteux, si on les soumettait à cette épreuve.

Dans les sciences purement mathématiques, les conséquences les plus éloignées participent de la certitude du principe dont elles dérivent. Dans les applications de l'analyse à la physique, les conséquences ont toute la certitude des faits ou des expériences. Mais dans les sciences morales, où chaque conséquence n'est déduite de ce qui la précède, que d'une manière vraisemblable; quelque probables que soient ces déductions, la chance de l'erreur croît avec leur nombre, et finit par surpasser la chance

Ve Principe.

de la vérité, dans les conséquences très-éloignées du principe.

Quand deux événemens dépendent l'un de l'autre; la probabilité de l'événement composé est le produit de la probabilité du premier événement, par la probabilité que cet événement étant arrivé, l'autre aura lieu. Ainsi, dans le cas précédent de trois urnes A, B, C, dont deux ne contiennent que des boules blanches et dont une ne renferme que des boules noires; la probabilité de tirer une boule blanche de l'urne C est ; puisque sur trois urnes, deux ne contiennent que des boules de cette couleur. Mais lorsqu'on a extrait une boule blanche, de l'urne C; l'indécision relative à celle des urnes qui ne renferme que des boules noires, ne portant plus que sur les urnes A et B; la probabilité d'extraire une boule blanche, de l'urne B est, le produit de par, ou est donc la probabilité d'extraire à-la-fois des urnes B et C, deux boules blanches.

On voit par cet exemple, l'influence des événemens passés sur la probabilité des événemens futurs. Car la probabilité d'extraire une boule blanche, de l'urne B, qui primiti→ vement est, se réduit à¦, lorsqu'on a extrait une boule blanche de l'urne C : elle se changerait en certitude, si l'on avait extrait une

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