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est exactement égale à l'unité, les séries cessent d'être convergentes elles n'ont de valeurs, qu'autant qu'on les arrête. Le rapport remarquable de cette application du calcul des probabilités, avec les limites des valeurs des séries périodiques, suppose que les termes de ces séries sont multipliés par toutes les puissances consécutives de la variable. Mais ces séries peuvent résulter du développement d'une infinité de fractions différentes, dans lesquelles cela n'a pas lieu. Ainsi la série, plus un, moins un, plus un, etc. peut naître du développement d'une fraction dont le numérateur est l'unité plus la variable, et dont le dénominateur est ce numérateur augmenté du carré de la variable. En supposant la variable égale à l'unité, ce développement se change dans la série proposée, et la fraction génératrice devient égale à; les règles des probabilités donneraient donc alors un faux résultat; ce qui prouve combien il serait dangereux d'employer de semblables raisonnemens, surtout dans les sciences mathématiques que la rigueur de leurs procédés doit éminemment distinguer.

Une illusion nuisible au progrès des sciences physiques, est celle qui porte à croire que l'exactitude dans les observations de phénomènes très-sensiblement troublés par des

causes accidentelles et irrégulières, est inutile et n'augmente point la probabilité de leurs résultats. Le calcul confirme ce que le simple bon sens fait pressentir, savoir qu'il y a toujours beaucoup d'avantages à ne laisser subsister que les causes inévitables d'erreur.

· Des divers moyens d'approcher de la certitude.

L'induction, l'analogie, des hypothèses fondées sur les faits et rectifiées sans cesse. par de nouvelles observations, un tact heureux donné par la nature et fortifié par des comparaisons nombreuses de ses indications. avec l'expérience; tels sont les principaux moyens de parvenir à la vérité.

Si l'on considère avec attention, la série des objets de même nature; on aperçoit entre eux et dans leurs changemens, des rapports. qui se manifestent de plus en plus à mesure. que la série se prolonge, et qui, en s'étendant et se généralisant sans cesse, conduisent enfin au principe dont ils dérivent. Mais souvent ces rapports sont enveloppés de tant de circonstances étrangères, qu'il faut une grande sagacité pour les démêler, et pour remonter à ce principe: c'est en cela que consiste le véritable génie des sciences. L'ar

nalyse et la philosophie naturelle doivent leurs plus importantes découvertes, à ce moyen fécond que l'on nomme induction. Newton lui a été redevable de son théorème du binome, et du principe de la gravitation universelle. It est difficile d'apprécier la probabilité de ses résultats. Elle se fonde sur ce que les rapports les plus simples, sont les plus communs : c'est ce qui se vérifie dans les formules de l'analyse, et ce que l'on retrouve dans les phénomènes naturels, dans la cristallisation et dans les combinaisons chimiques. Cette simplicité de rapports ne paraîtra point étonnante, si l'on considère que tous les effets de la nature, ne sont que les résultats mathématiques d'un petit nombre de lois immuables.

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Cependant l'induction, en faisant découvrir les principes généraux des sciences, ne suffit pas pour les établir en rigueur. Il faut toujours les confirmer par des démonstrations ou par des expériences décisives; car l'histoire des sciences nous montre que l'induction a quelquefois conduit à des résultats inexacts. Je citerai pour exemple, un théorème de Fermat sur les nombres premiers. Ce grand géomètre qui avait profondément médité sur leur théorie, cherchait une for mule qui ne renfermant que des nombres premiers, donnât directement un nombre

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premier plus grand qu'aucun nombre assignable. L'induction le conduisit à penser que deux élevé à une puissance qui était elle-même une puissance de deux, formait avec l'unité, un nombre premier. Ainsi deux élevé au carré, plus un, forme le nombre premier cinq: deux élevé à la seconde puissance de deux, ou seize forme avec un, le nombre premier dixsept. Il trouva que cela était encore vrai pour la huitième et la seizième puissance de deux, augmentée de l'unité; et cette induction appuyée de plusieurs considérations arithmétiques, lui fit regarder ce résultat, comme général. Cependant il avoue qu'il ne l'avait pas démontré. En effet, Euler a reconnu que cela cesse d'avoir lieu pour la trentedeuxième puissance de deux, qui augmentée de l'unité, donne 4294967297, nombre divisible par 641.

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Nous jugeons par induction, que si des événemens divers, des mouvemens par exemple, paraissent constamment et depuis longtemps, liés par un rapport simple; ils continueront sans cesse d'y être assujétis; et nous en concluons par la théorie des probabilités, que ce rapport est dû, non au hasard, mais à une cause régulière. Ainsi l'égalité des mouvemens de rotation et de révolution de la lune, celle des mouvemens des noeuds de l'orbite

et de l'équateur lunaires, et la coïncidence de ces nœuds; le rapport singulier des mou¬ vemens des trois premiers satellites de Jupiter, suivant lequel la longitude moyenne du premier satellite, moins trois fois celle du second, plus deux fois celle du troisième, est égale à deux angles droits; l'égalité du retour moyen des marées, à celui du passage de la lune au méridien; toutes ces choses qui se maintiennent depuis qu'on les observe, indiquent avec une vraisemblance extrême, l'existence de causes constantes que les géomètres sont heureusement parvenus à rattacher à la loi de la pesanteur universelle, et dont la connaissance rend certaine, la perpétuité de ces rapports.

Le chancelier Bacon, promoteur si éloquent de la vraie méthode philosophique, a fait de l'induction, un abus bien étrange, pour prouver l'immobilité de la terre. Voici comme il raisonne dans le Novum Organum, son plus bel ouvrage. Le mouvement des astres, d'orient en occident, est d'autant plus prompt, qu'ils sont plus éloignés de la terre. Ce mouvement est le plus rapide pour les étoiles il se ralentit un peu pour Saturne, un peu plus pour Jupiter, et ainsi de suite, jusqu'à la lune et aux comètes les moins élevées. Il est en

core perceptible dans l'atmosphère, surtout

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