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des deux variables, dans A multiplié par la nième puissance de B, et par la n'ième puissance de B', sera le coefficient semblable de A, dans lequel les indices des deux variables sont respectivement augmentés des indéterminées n et n'. Le même coefficient dans le produit de A par une puissance de B', est le coeffi cient de A, dans lequel l'indice de la seconde variable est augmenté de l'exposant de cette puissance. Enfin ce coefficient dans le produit de A par une puissance de B', et par une puissance de C, est le coefficient de A dans lequel l'indice de la seconde variable est augmenté de l'exposant de la puissance de B', et devant lequel on place la caractéristique relative à C, affectée de l'exposant de la puissance de C. On aura ainsi une fonction de deux indices augmentés respectivement des indéterminées n et n', exprimée dans une série de termes dépendans de la même fonction dans laquelle le second indice est seul augmenté, et de termes semblables précédés des puissances successives de la caractéristique. Si les coefficiens de A rendent nulle, la fonction indiquée par cette caractéristique; on aura l'intégrale de l'équation linéaire aux différences partielles, que représente cette égalité à zéro, intégrale qui renfermera une fonction arbitraire de l'indéterminée n'.

Revenons maintenant aux fonctions génératrices à une seule variable, et représentons les toujours par A.En supposant B fonction de cette variable, et C une autre fonction de la même variable; on pourra considérer B, comme une fonction de C, développée dans une série ordonnée par rapport aux puissances de C. Le produit de A par cette série, sera donc identiquement égal au produit de A par B; et les coef ficiens d'une même puissance de la variable, seront identiquement égaux dans ces deux produits. Mais dans le produit de A par B, ce coefficient est celui de A, affecté d'une caractéristique relative à B. Dans le produit du développement de l'expression de B ordonnée par rapport à C, le coefficient d'une puissance quelconque de C est le coefficient de A affecté d'une nouvelle caractéristique relative à C, et dont l'exposant est celui de cette puissance, en écrivant simplement le coefficient de A, lorsque cet exposant est nul; on aura done ainsi l'expression d'une dérivée indiquée par une première caractéristique, dans une série ordonnée suivant les exposans d'une nouvelle caractéristique. On voit que pour former cette série, c'est-à-dire, pour repasser des fonctions génératrices, à leurs coefficiens; il suffit de substituer dans B considéré comme fonction de C, la nouvelle caractéristique, à

la place de C; de développer cette expression de B, dans une série ordonnée par rapport aux puissances de cette caractéristique; enfin d'écrire le coefficient d'une puissance indéterminée de la variable dans A, à la suite de chaque puissance de la caractéristique et après. le premier terme de la série. Ainsi, ce coefficient étant une fonction quelconque de l'indice de la puissance de la variable; la transformation d'une dérivée de cette fonction, indiquée par une première caractéristique, dans une série ordonnée par rapport aux exposans suc-. cessifs de la caractéristique d'une nouvelle dérivée de la même fonction, se réduit au développement des fonctions, en séries.

Supposons B égal à l'unité divisée par la pár variable, moins un; et C égal à l'unité divisée. par la puissance i de la variable, moins un; la puissance nième de C sera égale au développement de la puissance nième de la quantité (un plus B, élevé à la puissance i, moins un). En multipliant ces deux puissances nièmes par A, et repassant des fonctions génératrices à leurs. coefficiens; le coefficient relatif au produit de

A par la puissance nième de C, sera la différence finie nième du coefficient correspondant dans A, l'indice variant de i unités. Le coefficient semblable du produit de A par une puissance de B, sera la différence finie de l'ordre.

de cette puissance, du coefficient de A, l'indice variant de l'unité; on aura donc ainsi la différence finie nième d'une fonction de l'indice variant de i unités, en série des différences de la même fonction de l'indice variant d'une unité. Dans cette expression, les différences pourront se changer en intégrales, en y faisant n négatif.

On voit dans tout ce qui précède, que les opérations algébriques, relatives aux transformations des fonctions, se transportent aux caractéristiques, en leur donnant pour exposans, ceux des quantités qui leur correspondent.

Si dans une fonction d'un indice variant de l'unité, on fait cet indice égal à un autre indice multiplié par une constante; la variation de ce nouvel indice sera cette constante même. On transformera ainsi les formules relatives aux fonctions dont l'indice varie de l'unité, en d'autres relatives aux fonctions dont l'in dice varie d'une constante quelconque.

En supposant les accroissemens des indices, infiniment petits, ou les uns finis, et les autres infiniment petits; les résultats relatifs à leurs accroissemens finis subsisteront toujours, et se simplifieront en rejetant les infiniment petits d'un ordre supérieur à celui que l'on conserve. Ces passages du fini à l'infiniment

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petit, ont l'avantage d'éclairer les points dé licats de l'analyse infinitésimale, qui ont été l'objet de grandes discussions parmi les géomètres. C'est ainsi que j'ai démontré la possibilité d'introduire des fonctions discontinues, dans les intégrales des équations aux différen-. tielles partielles ; pourvu que la discontinuité n'ait lieu que pour les différentielles des fonc-. tions, de l'ordre de ces équations. Les résultats transcendans du calcul sont, comme toutes les abstractions de l'entendement, des signes généraux dont on ne peut connaître la véritable étendue, qu'en remontant par l'analyse métaphysique, aux idées élémentaires qui y ont conduit; ce qui présente souvent de grandes difficultés; car l'esprit humain en éprouve moins encore à se porter en avant, qu'à se replier sur lui-même.

Le passage de l'infini à l'infiniment petit, répand un grand jour sur la métaphysique du calcul différentiel. On voit clairement par ce passage, que ce calcul n'est que la comparaison des coefficiens des mêmes puissances des différentielles, dans le développement en série, de fonctions identiquement égales des indices augmentés respectivement de différentielles indéterminées. Les quantités que l'on néglige comme infiniment petites d'un ordre supérieur à celui que l'on conserve, et

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