ses puissances entières et positives, en écri→ vant vers le haut de la lettre qui l'exprime, les nombres qui marquent les degrés de ces puissances. Cette notation semble être peu de chose. Mais la langue de l'analyse, la plus parfaite de toutes, étant par elle-même, un puissant instrument de découvertes; ses notations, lorsqu'elles sont nécessaires et heureusement imaginées, sont autant de germes de nouveaux calculs. C'est ce que cet exemple rend sensible.

Wallis qui, dans son ouvrage intitulé Arythmetica infinitorum, l'un de ceux qui ont le plus contribué aux progrès de l'analyse, s'est attaché spécialement à suivre le fil de l'induction et de l'analogie, considéra que si l'on divise l'exposant d'une lettre, par deux, trois, etc.; lę quotient sera suivant la notation cartésienne, et lorsque la division est possible, l'exposant de la racine carrée, cubique, etc., de la quantité que représente la lettre élevée à l'exposant dividende. En étendant par analogie, ce résultat au cas où la division n'est pas possible; il considéra une quantité élevée à un exposant fractionnaire, comme la racine du degré indiqué par le dénominateur de cette fraction, de la quantité élevée à la puissance indiquée par le numérateur. Il observa ensuite, que suivant la notation carlésienne, la multiplication

de deux puissances d'une même lettre, revient à ajouter leurs exposans; et que leur division revient à soustraire l'exposant de la puissance diviseur, de celui de la puissance dividende, lorsque le second de ces exposans surpasse le premier. Wallis étendit ce résultat, au cas où le premier exposant égale ou surpasse le second; ce qui rend la différence, nulle ou négative. Il supposa donc qu'un exposant négatif indique l'unité divisée par la quantité élevée au même exposant pris positivement. Ces remarques le conduisirent à intégrer généralement les différentielles monomes; d'où il conclut les intégrales définies d'un genre particulier de différentielles binomes dont l'exposant est un nombre entier positif. En observant ensuite la loi des nombres qui expriment ces intégrales; une série d'interpolations et d'inductions heureuses, où ой l'on aperçoit le germe du calcul des intégrales définies, qui a tant exercé les géomètres, et l'une des bases de ma nouvelle théorie des probabilités, lui donna le rapport de la surface du cercle au carré de son diamètre, exprimé par un produit infini qui, lorsqu'on l'arrête, resserre ce rapport dans des limites de plus: en plus rapprochées; résultat l'un des plus singuliers de l'analyse. Mais il est remarquable que Wallis qui avait si bien considéré les

exposans fractionnaires des puissances radicales, ait continué de noter ces puissances, comme on l'avait fait avant lui. Newton, si je ne me trompe, employa, le premier, dans ses Lettres à Oldembourg, la notation de ces puissances, par des exposans fractionnaires. En comparant par la voie de l'induction dont Wallis avait fait un si bel usage, les exposans des puissances du binome, avec les coefficiens des termes de son développement, dans le cas où cet exposant est entier et positif; il détermina la loi de ces coefficiens, et il l'étendit par analogie, aux puissances fractionnaires et négatives. Ces divers résultats fondés sur la notation de Descartes, montrent son influence sur les progrès de l'analyse. Elle a encore l'avantage de donner l'idée la plus simple et la plus juste des logarithmes qui ne sont en effet, que les exposans d'une grandeur dont les puissances successives, en croissant par degrés infiniment petits, peuvent représenter tous les nombres.

Mais l'extension la plus importante que cette notation ait reçue, est celle des exposans variables; ce qui constitue le calcul exponentiel, l'une des branches les plus fécondes de l'analyse moderne. Leibnitz a indiqué, le premier, les transcendantes à exposans variables, et par là, il a complété le système des élémens dont

une fonction finie peut être composée; car toute fonction finie explicite d'une variable, se réduit en dernière analyse, à des grandeurs simples, combinées par voie d'addition, de soustraction, de multiplication et de division, et élevées à des puissances constantes ou variables. Les racines des équations formées de ces élémens, sont des fonctions implicites de la variable. C'est ainsi qu'une variable ayant pour logarithme, l'exposant de la puissance qui lui est égale dans la série des puissances du nombre dont le logarithme hyperbolique est l'unité; le logarithme d'une variable, en est une fonction implicite.

Leibnitz imagina de donner à sa caractéristique différentielle, les mêmes exposans qu'aux grandeurs; mais alors, ces exposans, au lieu d'indiquer les multiplications répétées d'une même grandeur, indiquent les différentiations répétées d'une même fonction. Cette extension nouvelle de la notation cartésienne, conduisit Leibnitz à l'analogie des puissances positives avec les différentielles, et des puissances négatives avec les intégrales. Lagrange a suivi cette analogie singulière, dans tous ses développemens; et par une suite d'inductions, qui peut être regardée comme une des plus belles applications que l'on ait faites de cette méthode, il est parvenu à des formules

générales aussicurieuses qu'utiles, sur les trans formations des différences et des intégrales les unes dans les autres, lorsque les variables ont des accroissemens finis divers, et lorsque ces accroissemens sont infiniment petits. Mais il n'en a point donné les démonstrations qu'il jugeait difficiles, La théorie des fonctions génératrices étend à des caractéristiques quelconques, la notation cartésienne : elle montre avec évidence, l'analogie des puissances et des opérations indiquées par ces caractéristiques; ensorte qu'elle peut encore être envisagée comme le calcul exponentiel des caractéristiques. Tout ce qui concerne les séries et l'intégration des équations aux différences, en découle avec une extrême facilité.

APPLICATIONS DU CALCUL DES PROBABILITÉS.

Des Jeux.

Les combinaisons que les jeux présentent ont été l'objet des premières recherches sur les probabilités. Dans l'infinie variété de ces combinaisons, plusieurs d'entre ellesse prêtent avec facilité au calcul d'autres exigent des calculs plus difficiles; et les difficultés croissant à mesure que les combinaisons deviennent