Soient for fi, fa, ..., fn des fonctions données des variables x, y, y', analytiques et régulières pour chaque système de valeurs de ces variables que nous aurons à considérer. Nous allons envisager le problème de trouver l'extremum de l'intégrale

dans un champ comprenant toutes les lignes joignant deux points fixes et donnant aux intégrales

des valeurs déterminées.

Soient av, hung ..., à des nombres fixes, d'ailleurs quelconques, c une extrémale relative à la fonction

f=fo + di fi + 2 fot...

+ antres

P, un point fixe de c, P le foyer conjugué de P, sur c relatif à notre problème, et P1, P2, ..., Pr+, les n + 1 premiers foyers conjugués de P, sur c relatifs au problème de l'extremum libre de l'intégrale

n+1

Nous supposerons vérifiées les hypothèses suivantes:

1) La courbe c n'est extrémale par rapport à aucune combinaison linéaire des fonctions fi, fa,۰۰۰,f.. 2) Les foyers P1, P2, ..., Pn+1 existent tous.

Р 3) La condition de Legendre relative à la fonction f est remplie au sens strict depuis Po jusqu'à Pn+1, limites comprises.

Dans ces conditions nous montrerons que le foyer P existe toujours et ne peut jamais se trouver au delà du point P,

+

Dans notre Mémoire ,,Sur les maxima et minima d'une fonction de deux intégrales définies“ *) nous avons déjà démontré ce théorème pour le cas n=1; la théorie de la variation seconde va nous conduire très facilement au théorème général.

Désignons par X ;, Y; les coordonnées du point Pir et soit y=y(x, y) l'équation de l'extrémale relative à la fonction f qui passe par le point P, et dont la tangente a en ce point u pour coefficient angulaire. Soit encore mo la valeur de ui qui correspond à la courbe c, et posons

(x, Mo).

ду ди

correspondant à la variation dy: =z de y; choisissons enfin des nombres kj, ka, ...,

..., kn+1 qui ne soient pas tous nuls, de telle manière qu'on ait

pour r=1, 2, ..., n, ce qui est évidemment toujours possible. Nous appellerons z la fonction de x qui, dans chaque intervalle X:-1 < x < x;, coincide avec la fonction k,z. D'après la manière même dont nous avons déterminé les nombres ka, k2, ..., kn +1,

ka il est évident que, si la variation dy de y est égale à z, les variations premières des intégrales I1, I2, ..., In prises entre les limites x, et xn+1 seront toutes nulles. En vertu de

. notre hypothèse 1) on peut donc trouver une famille de courbes à un paramètre

'+1

y=y(x, a),

joignant les points P, et Port1 et comprenant la courbe c, telle que, a, étant la valeur de a qui correspond à la courbe c, on ait

ду

(, ) = 2, δα

'+1

et que les intégrales 11, 12, ..., In prises suivant ces courbes entre les limites xo et Xn+1,

, gardent des valeurs constantes.

Considérons la variation seconde g21 de l'intégrale 1 prise suivant la courbe y=ý (x, a) entre les limites xo et xx+1. Malgré les discontinuités que peut présenter la

Xx dérivée de dy (=2) pour x= x1, x2, ..., X,, on voit facilement que la variation 821 est donnée par l'intégrale

n

X

n

et, puisque la fonction à intégrer est identiquement nulle, il en résulte donc

821 = 0.

1'

+

0

Or, en vertu de notre hypothèse 3), l'existence d'une famille de courbes ayant les propriétés précédentes serait impossible s'il n'y avait pas de foyer P ou si ce foyer se trouvait au delà du point Portr. Le théorème que nous avons énoncé est donc démontré.

On peut donner à ce théorème une autre forme.

Considérons le problème de l'extremum libre de l'intégrale I., et soient c une extré. male relative à la fonction fo, P, un point fixe de c et Pa, P2, ..., P.

Pn+1 les n + 1 premiers

1 foyers conjugués de Po sur c. Supposons enfin la condition de Legendre remplie au sens strict sur c entre P, et Pn+1, limites comprises.

Soit P' un point mobile de c. Pour que l'arc P, P' de c fournisse un extremum, il faut que P' se trouve à gauche de P, (ou en ce point). Mais si l'on restreint le champ des lignes variées par des conditions convenables, l'intervalle dans lequel doit rester P' pour que l'extremum ait lieu peut devenir plus large. Le théorème que nous venons de démontrer est équivalent à l'énoncé suivant:

Quelles que soient les fonctions f:, f2,..., f à la seule condition que c ne soit extrémale par rapport à une combinaison linéaire de ces fonctions, si l'on impose aux courbes variées la condition de donner aux intégrales

les mêmes valeurs que l'arc P, P' de l'extrémale c, le segment de c sur lequel peut varier P' sans que l'extremum cesse d'avoir lieu ne s'étend jamais au delà du point P