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TOM. XLVI N:o 4.

SUR UN PRINCIPE GÉNÉRAL DE L'ANALYSE

ET SES APPLICATIONS A

LA THÉORIE DE LA REPRÉSENTATION CONFORME

PAR

ERNST LINDELÖF

(PRÉSENTÉ LE 17 MAI 1915)

HELSINGFORS 1915
IMPRIMERIE DE LA SOCIÉTÉ DE LITTÉRATURE FINNOISE

Introduction.

On sait depuis longtemps que l'intérieur d'un domaine simplement connexe, dont la frontière comprend plus d'un point, peut être représenté d'une manière conforme sur l'intérieur d'un cercle, mais ce n'est que dans ces derniers temps qu'on est arrivé à traiter d'une manière générale le problème relatif à la correspondance entre les frontières des deux domaines 1).

Dans une Note récente 2) nous avons montré que cette dernière question peut être rattachée au principe classique suivant lequel le module d'une fonction monogène qui est régulière dans un domaine donné atteint toujours sa plus grande valeur sur la frontière de ce domaine. Toutefois il nous était nécessaire, dans cette courte Note, de nous borner au cas d'un domaine limité par une ligne simple fermée, du genre de celles qui ont fait l'objet des recherches de M. CAMILLE JORDAN 3).

Dans le présent Mémoire nous allons reprendre le problème dont il s'agit dans toute sa généralité, et nous allons faire voir que le principe élémentaire dont nous venons de parler permet d'établir très facilement les résultats obtenus jusqu'ici, et de les préciser et compléter sur certains points.

La première partie de notre Mémoire renferme différentes applications analytiques du principe en question, ainsi que certains théorèmes qui s'y rattachent, mais dont la démonstration exige l'emploi de la fonction modulaire. Dans la seconde partie nous appliquerons les résultats obtenus à la théorie de la représentation conforme.

1) Voir à ce sujet:

C. CARATHÉODORY: Über die gegenseitige Beziehung der Ränder bei der konformen Abbildung des Inneren einer Jordanschen Kurve auf einen Kreis (Mathematische Annalen, t. 73, 1913). Über die Begrenzung einfach zusammenhängender Gebiete (ibidem).

E, STUDY: Konforme Abbildung einfach-zusammenhängender Bereiche (B.-G. Teubner, 1913).

P. KOEBE: Ränderzuordnung bei konformer Abbildung (Nachrichten der K. Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-physikalische Klasse, 1913). Les résultats résumés dans cette Note ont été développés dans un travail intitulé Abhandlungen zur Theorie der konformen Abbildung (Journal de Crelle, t. 145, p. 177—223), qui a paru après que nous avions achevé la rédaction de notre Mémoire.

W.-F. Osgood and E.-H. TAYLOR: Conformal transformations on the boundaries of their regions of definition (Transactions of the American Mathematical Society, t. 14, 1913).

2) ERNST LINDELÖF: Sur la représentation conforme (Comptes rendus, t. 158, 26 janvier 1914). 9 Cours d'Analyse de l'École Polytechnique, tome 1, 2e édition, pages 90-100.

I. Quelques théorèmes d'Analyse.

PRINCIPE FONDAMENTAL.

1. Dans ce Mémoire nous aurons à nous servir du principe auquel nous venons de faire allusion sous la forme précise que voici:

Soient dans le plan de la variable complexe z un domaine fini simplement connexe, T, et une fonction monogène, f(2), régulière à l'intérieur de ce domaine et vérifiant pour tout point § de son contour la condition suivante:

(A) Le nombre positif ε étant donné aussi petit qu'on le veut, l'inégalité

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M désigne une constante positive, est vérifiée dès que le point 2, restant à l'intérieur de T, se trouve dans un voisinage suffisamment restreint du point .

Dans ces conditions on aura en tout point 2 pris à l'intérieur du domaine T

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le signe d'égalité ne pouvant d'ailleurs se présenter que dans les cas la fonction f(2) se réduit à une constante.

Rappelons en quelques mots la démonstration de ce principe.

Soit G la limite supérieure du module 11(z) dans le domaine T. Par un raisonnement bien connu, on démontre qu'il existe, à l'intérieur ou sur la frontière de T, au moins un point P tel que la limite supérieure de 1f(z)| soit égale à G dans la portion de T comprise dans un cercle quelconque ayant ce point comme centre.

Admettons d'abord qu'il n'existe pas de ces points P à l'intérieur de T, où l'on aura par suite f()< G. La frontière de T comprend alors au moins un point tel que P, et l'hypothèse (A) nous montre dès lors qu'on a G< M. Dans ce cas on aura donc f(2)|< M pour tout point 2 pris à l'intérieur du domaine T.

Supposons maintenant qu'il y ait à l'intérieur de T un point tel que P, et soit 2, affixe et r, sa plus courte distance de la frontière de T. Puisque la fonction |(2) est continue au point 20, on aura d'abord \1 (20)=G. D'autre part, en faisant 2–20=rein (r <ro), la formule de Cauchy nous donne

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Puisque f(2, tre'")| ne saurait dépasser la valeur G pour aucune valeur 9, on aura nécessairement f(2o tre'”)= G pour 0 <4 <2n, sans quoi le second membre serait inférieur à G. Donc le module 11(2)| conserve une valeur constante dans le cercle 12 – 201<ro, et il s'ensuit

=

0

que la fonction f(a) se réduit elle-même à une constante. En vertu de l'hypothèse (A), la valeur absolue de cette constante est <M, et l'on aura donc bien \|(2)<M à l'intérieur du domaine donné.

2. Dans un travail publié en commun avec M. PHRAGMÉN '), nous avons donné différentes extensions du principe qui précède. Nous rappellerons ici la plus simple de ces extensions, qui nous permettra dans la suite d’abréger certaines démonstrations.

La fonction f(x) étant toujours régulière dans le domaine T, supposons que l'hypothèse (A) soit vérifiée pour les points situés sur la frontière de ce domaine, sauf peut-être pour un nombre fini de ces points, $1,52,..., En.

Admetlons en outre que le module 11(2)| reste dans T au-dessous d'une limite finie M'.

Dans ces conditions, le résultat (1) aura encore lieu en tout point 2 pris à l'intérieur du domaine donné.

1

Puisque le domaine T est fini, le module du produit (2 – $1)(2 – $2)...(2y aura un maximum fini K. Posons

K

((z)= *(?- $,) (2 – $z)... (2 – 5 ») et considérons l'expression

F(2)= 0 (2) 7(2), o étant une constante positive.

Comme (2) <1 dans le domaine T, on y aura | F(x) <f(2)l. En vertu de nos hypothèses, l'inégalité |F(2) < M + ε sera donc vérifiée dans un voisinage suffisamment restreint d'un point quelconque situé sur la frontière de T, excepté peut-être les points in $2,- Em. Mais en ces points ® (2) s'annule, et, puisque par hypothèse 11(2)|< M' dans T, l'inégalité précédente aura donc lieu aussi dans un voisinage suffisamment restreint de l'un quelconque de ces points.

Le principe fondamental nous apprend dès lors qu'on a à l'intérieur de T

1

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et, coinme cette conclusion reste vraie quelque petit que soit o, il faut bien que le résultat (1) ait lieu dans T.

3. Voici maintenant dans quelles conditions nous allons nous servir du principe fondamental.

Soit 2 un domaine fini, limité par une seule ligne simple fermée) C, et soit f(z) une

*) E. PHRAGMÉN et ERNST Lindelöf: Sur une extension d'un principe classique de l'Analyse et sur quelques propriétés des fonctions monogènes dans le voisinage d'un point singulier (Acta Mathematica, t. 31).

2) Nous dirons qu'un ensemble de points constitue une ligne simple, s'il existe une correspondance bi-univoque et continue entre les points de cet ensemble et ceux d'un arc de cercle. Un ensemble de points

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