Considérons maintenant le quotient

F(z)
f(z)

A l'intérieur du domaine T celui-ci définit évidemment une fonction monogène uniforme et régulière. Soit un point quelconque situé sur la frontière de T. Quelque petit que soit ε, on pourra choisir de telle sorte qu'on ait f (2) > 1 - ε pour tout point z de T compris dans le cercle -<e, et, puisque d'autre part | F(2)<1 dans T, on voit que le module |z du quotient considéré est, pour les mêmes points z, inférieur à Le principe fondamental F(z) f(z)

1 1

rappelé au no 1 nous apprend dès lors que <1 à l'intérieur du domaine T, et il en résulte qu'on a │f(z)|>|F(≈) pour tout point de ce domaine distinct du point 0.

D'après le résultat établi plus haut, on aura donc |f(z)|>1-d' dans la portion du domaine T comprise dans le cercle |za|<r. Si le point a se déplace sur la frontière de T, la quantité Q et par suite aussi d' varie, mais comme on a Qq, d' ne dépassera jamais la limite

A tout point z du domaine T situé à une distance inférieure à r(q) de sa frontière correspond, en vertu de (1), un point 5 ayant à la circonférence |5| =1 une distance inférieure à l'expression (r), qui tend vers zéro en même temps que r, et qui, en dehors de r, ne renferme que les quantités K et q.

9. Nous allons maintenant établir un théorème aussi précis relatif à la variation de l'argument de la fonction f(z).

Soient a un point quelconque situé sur la frontière du domaine T, I une ligne simple de ce domaine comprise dans le cercle | za│<r(<q), et o l'oscillation de l'argument de la fonction f(z) sur cette ligne 1, on aura, dès que r est inférieur à une certaine limite ro, l'inégalité

1

K

K r

Soient et 2 la plus grande et la plus petite valeur de l'argument de f(2) sur la ligne 7, et, un segment del compris entre deux points consécutifs où ces valeurs sont atteintes. A correspondra, dans le cercle ||< 1, une ligne simple λ, dont les extrémités A, et

1

1

==

1

1

1

B1 sont respectivement situées sur les rayons = 41 et y = 42, tandis que ses autres points sont compris dans l'angle <<,. Soient A et B les points où lesdits rayons rencontrent la circonférence=1.

=

1 et

D'après le n° 8, la ligne λ, est comprise entre les circonférences |5| ||= 1−d (r), où d (r) désigne l'expression (2). Une tangente à la dernière de ces circonférences intercepte de la première un arc de longueur

=

Il s'agit de trouver une limite supérieure de la différence o12. A cet effet nous admettrons provisoirement les deux hypothèses suivantes :

1o La différence σ est supérieure à l'expression (4).

2o On a d'autre part o

1

1

A

Soit P le milieu de la corde AB et 。 l'affixe de ce point. En vertu des hypothèses 1o et 2o, P est situé à l'intérieur du domaine 2 limité par la ligne 2, et les segments rectilignes 0 A, et 0B,. Faisons tourner ce domaine de l'angle autour du point P, et désignons par le nouveau domaine ainsi obtenu, lequel sera limité par les segments rectilignes O'A1, O'B'1 et la ligne '1, symétriques respectivement à 0A,, 0B, et λ, par rapport au point P. Puisque, en vertu de l'hypothèse 2o, les segments O'A' et O'B'1 sont extérieurs au cercle <1 et par suite au domaine 2, les segments 0 A1 et 0 B1 seront extérieurs au domaine 2', et la portion commune 2, de ces deux domaines qui renferme le point P (couverte de hachures dans la figure à côté) sera donc limitée uniquement par des segments des lignes 2, et 2.

1

1

0

0

B

1

0'

Cette fonction est régulière dans le domaine 2, contour compris, et vérifie l'inégalité | P(5)|<K_dans tout ce domaine et l'inégalité plus étroite | (5) <r sur la portion λ1 de son contour. Par la rotation considérée ci-dessus, qui se traduit analytiquement par la substitution '-=-(5—50) ou '25,-, on déduit de () une nouvelle fonction,

qui est régulière dans le domaine 2', contour compris, et vérifie l'inégalité | P,(5) |< K_en tout point de ce domaine et l'inégalité | P. (5)|<r sur la ligne λ',.

Par suite la fonction (?) P1(5) est régulière et bornée dans le domaine 2。 et sur son contour, et vérifie en tout point de ce contour l'inégalité |P(5) P,(5)|<Kr. D'après le principe fondamental du no 1, cette même inégalité subsiste donc aussi à l'intérieur du domaine 2, et, en particulier, au point 。, où elle se réduit à

0

| ¶ (5%)—a│<√Kr.

D'après cette inégalité, la distance du point z。=4(5。), qui correspond au point P, à la frontière du domaine T est inférieure à VKr. Cette dernière quantité est elle-même inférieure à q si r<27. Le théorème du n° 8 nous apprend donc que, pour ces valeurs de r,

K

la distance du point P à la circonférence ||= 1 est certainement inférieure à la limite

C'est l'inégalité cherchée (3), qui se trouve ainsi établic pour les valeurs de r inférieures à en supposant vérifiées les hypothèses 1o et 2o ci-dessus.

K'

Mais la première de ces hypothèses s'élimine d'elle-même, puisque, l'expression (5) étant supérieure à (2), la limite que nous venons de trouver pour a est évidemment supérieure à l'expression (4). Quant à la seconde hypothèse, on vérifie aisément que la limite (3) est inférieure àsir est plus petit que la quantité

2

2

)

5+4/2

laquelle est elle-même inférieure à la limiteadmise ci-dessus.

K

π

2'

Il en résulte que, si r<。, on ne saurait avoir o>. En effet, au cas contraire

on pourrait choisir un segment de la ligne sur lequel l'oscillation σ de l'argument de la fonction f(z) serait inférieure à mais en même temps supérieure à la limite (3), et on se

π

2

trouverait ainsi en contradiction avec le résultat obtenu ci-dessus. Donc, si r<r。, on aura nécessairement < <et, par suite, l'inégalité (3), C. Q. F. D.

Remarquons enfin que le théorème que nous venons de démontrer reste encore vrai si l'on y remplace la quantité q par la longueur Q du vecteur a 0 et la quantité K par la plus grande corde du domaine T issue du point a.

10. Un point de la frontière du domaine T est dit accessible, s'il existe une ligne simple dont une extrémité se confond avec ce point tandis que ses autres points sont tous situés à l'intérieur du domaine T. S'il n'existe pas de telle ligne, le point en question est dit inaccessible. Il est évident que l'ensemble des points accessibles est dense partout sur la frontière, c'est-à-dire que tout cercle ayant comme centre un point de la frontière renferme une infinité de points accessibles.

Ces définitions posées, les considérations qui précèdent nous permettront d'établir en quelques mots deux théorèmes importants.

Soient z = a un point accessible de la frontière du domaine T el L une ligne simple comprise dans ce domaine et ayant a comme extrémité, si le point z tend vers a suivant L, le point correspondant = f(z) tendra vers un point déterminé a de la circonférence = 1.

=

a

Puisque nous savons que le module de la fonction f(z) tend vers l'unité, nous n'avons qu'à démontrer que son argument tend également vers une limite finie et déterminée. Soit L, la portion de la ligne L comprise entre le point a et le premier point, à partir de a, où cette ligne rencontre la circonférence | z =r. D'après le théorème du numéro précédent, l'oscillation de l'argument de f() sur L, sera inférieure à tel nombre & qu'on voudra si r est inférieur à une certaine quantité r。. Or ceci constitue précisément la condition nécessaire et suffisante pour l'existence d'une limite finie et déterminée.

Soient a et a' deux points accessibles distincts de la frontière du domaine T, L et L' deux lignes simples comprises dans ce domaine et ayant respectivement a et a' comme extrémités, a et a' les limites vers lesquelles tend la fonction f(z) sur ces lignes; on aura nécessairement aa'.

|

Au cas contraire, les lignes et ' du cercle ||≤1 qui correspondent à L et à L' aboutiraient au même point a de la circonférence 1. Soient 4 et 4' les segments de ces lignes compris respectivement entre le point a et les premiers points, ẞ et g', où elles rencontrent la circonférence |a|g. Si e est suffisamment petit, 4, et n'auront aucun point commun en dehors du point a, et limiteront par conséquent, avec l'arc ẞp' de ladite circonférence, une portion connexe du cercle <1. La fonction () est régulière et bornée dans ce domaine, et malgré cela elle tendrait sur 4 et 4', vers des limites différentes, a et a', lorsque tend vers a. Or cette conséquence est en contradiction avec le théorème du no 5.

୧

Considérons maintenant une coupure quelconque s du domaine T, c'est-à-dire une ligne simple dont les extrémités, a et b, sont situées sur la frontière de T, tandis que ses autres points sont tous intérieurs à ce domaine. Les points a et b peuvent d'ailleurs être distincts

ou non.

A cette coupure s correspond dans le cercle <1 une ligne simple o qui, d'après le premier des théorèmes établis ci-dessus, tend des deux côtés vers des points déterminés, a et ß, de la circonférence ||= 1. 1. La ligne constitue donc une coupure du cercle <1 et le divise, par suite, en deux portions distinctes (voir la deuxième note page 5). En s'ap

puyant sur la correspondance continue et bi-univoque entre les points intérieurs de ce cercle et ceux du domaine T, on en conclut que ce dernier domaine est divisé en deux portions distinctes par la coupure s.

Si les extrémités a et b de la coupure s sont distinctes, il en est de même des extrémités a et de la coupure σ, d'après le second théorème ci-dessus. Dans le cas où les points a et b sont confondus, les points a et seront encore distincts si le domaine limité extérieurement par la coupure s, qui est maintenant une ligne fermée, renferme des points de la frontière de T. En effet, dans ces conditions le contour de chacune des deux portions de T que sépare la coupure s comprend une infinité de points accessibles de la frontière de T, et le contour de chacune des deux portions correspondantes du cercle ||<1 doit donc comprendre une infinité de points de la circonférence ||=1, ce qui n'aurait pas lieu si les extrémités a et de la coupure a étaient confondues.

11. Soit a un point accessible de la frontière de T, et soit L une ligne simple comprise dans ce domaine et aboutissant au point a. Nous admettrons que l'autre extrémité de L est le point O, ce qui évidemment ne restreint pas la généralité.

De a comme centre traçons un cercle de rayon r inférieur à q, et fixons un segment aa, de la ligne L dont les points sont tous situés à l'intérieur de ce cercle. On pourra par exemple choisir pour a, le premier point, à partir du point a, où la ligne L rencontre la circonférence |za|=2·

r

=

La circonférence zar est divisée par la frontière du domaine T en un nombre fini ou infini d'arcs distincts, dont ceux qui sont intérieurs à T constituent autant de coupures de ce domaine. Puisque les points a, et O sont situés respectivement à l'intérieur et à l'extérieur de cette circonférence, le segment de la ligne L qui joint ces points doit traverser l'une au moins des coupures en question. D'autre part, comme les distances des points de ce segment à la frontière de T ont une limite inférieure non-nulle, on conçoit que le nombre des coupures distinctes (s) que traverse la ligne L est nécessairement fini.

D'après le n° 10, chacune des coupures (s) divise le domaine T en deux portions distinctes. On démontre facilement 1) qu'il existe parmi ces coupures au moins une qui sépare les points a, et O, de sorte que les portions correspondantes du domaine T renferment chacune un de ces points.

Nous désignerons par s, la première parmi les coupures (s) qui séparent les points a, et O qu'on rencontre en suivant la ligne L depuis le point a, par b, et c, ses extrémités. La coupure s, divise T en deux domaines partiels, dont nous désignerons par t, celui qui renferme le point a,.

A la ligne L correspond, dans le cercle <1, une ligne simple 4 qui joint le centre. du cercle avec un point déterminé a de la circonférence ||=1. A s, correspond une coupure σ, du cercle |≤1 dont les extrémités P, et y, sont distinctes d'entre elles et du point a,

1) Cf. CARATHÉODORY: Ueber die Begrenzung einfach zusammenhängender Gebiete, page 338.