en vertu des résultats établis au no 101). La coupure o, divise le cercle en deux domaines partiels, dont l'un renferme le centre du cercle, tandis que l'autre, que nous désignerons par σ,, renferme le point a, qui correspond au point a,. Ce domaine ,, qui correspond à la portion

t, de T, doit comprendre tout point du segment a, a de la ligne 4, d'où l'on conclut que le point a est situé sur l'arc B, y, de la circonférence | 1 qui fait partie du contour de T. Dans la figure ci-dessus les domaines correspondants 1, et, sont couverts de hachures.

||

=

On démontre facilement que, si r'<r, le domaine, renferme, comme partie, d'où il suit que le domaine t, renferme t. D'autre part il résulte des théorèmes établis aux nos 8 et 9, lorsqu'on les applique à l'arc s, de la circonférence | a |=r, que les inégalités 2)

sont vérifiées pour tout point de la coupure σ, dès que r est inférieur à une certaine limite. Pourr suffisamment petit, cette coupure sera donc comprise dans un cercle aussi petit qu'on voudra de centre a. En particulier, les points P, et y, s'approcheront constamment du point a et se confondront à la limite avec ce point lorsquer décroît vers zéro. Donc:

Lorsque r décroît vers zéro, les domaines t, et t, se rétrécissent constamment, et le domaine

T, se réduit à la limite au seul point a.

12. Avant de continuer ces recherches générales, occupons-nous du cas où le domaine donné T est limité par une ligne simple fermée S.

Celle-ci est divisée par la coupure s, en deux segments, dont l'un, S,, contient le point a, tandis que la distance minima de l'autre segment, Sr, à ce point sera supérieure à une quantité positive m (r) (≤r). Le domaine t, est limité par s, et S,, la portion restante t', du domaine T par s, et S. Puisque la plus courte distance du point a à la frontière de

1) D'après la remarque qui termine le no 10, les points 8, et y, seront distincts aussi dans le cas où les points b, et c, se confondent.

2) On remarquera que, puisque a, coupe le rayon 0a, l'argument de la fonction f(z) est égal à arga en un point au moins de 8,.

t', est égale à m(r), tout point à l'intérieur de t', sera à une distance du point a supérieure à m(r), et on voit donc que tout point du domaine T qui est intérieur au cercle | z − a│<m (r) appartient au domaine t,.

A chacun de ces points de T correspond ainsi un point domaine. Or, d'après le n° 11, , est intérieur au cercle

= f(z) qui est situé dans le - a < & si r est inférieur à une certaine limite re, le nombre positif & étant donné aussi petit que l'on veut. On a donc |f(2) a <ε pour tout point 2 du domaine T qui est compris dans le cercle 2-a | < m (r:). En d'autres termes, la fonction f(z) est continue au point za et y prend la valeur a.

Des propriétés des lignes simples (voir la deuxième note page 5) il résulte, d'autre part, que la distance maxima m(r) (>r) d'un point du segment S, au point a tend vers zéro avec r. Quelque petit qu'on se donne &, le domaine t, sera donc compris dans le cercle |za|<ε dès que r est inférieur à une certaine limite r, d'où il suit qu'on aura | ❤ (5) — a | < ε dans le domaine, si r<re. Donc la fonction () est continue au point S= a et y prend la valeur a.

2

ф

Par hypothèse, a est un point accessible quelconque du contour du domaine T. Or on sait que, si ce contour est une ligne simple, comme nous le supposons ici, tous ses points sont accessibles. De ce qui précède il résulte donc que la fonction f(z) est continue dans le domaine T et sur son contour S, et que la relation = f(z) fait correspondre à tout point donné a de S un point déterminé a de la circonférence ||= 1, et à deux points différents de S deux points différents de cette circonférence. De plus, la fonction (?) est continue en tout point de la circonférence |= 1 qui correspond à un point de S.

=

Reste à faire voir qu'à tout point de la circonférence | 1 il correspond un point ||| du contour S.

Puisque ce contour est une ligne simple fermée, on peut établir une correspondance continue et bi-univoque entre ses points et ceux d'une circonférence C. Soit u l'angle polaire d'un point P de cette circonférence par rapport à son centre. L'affixez du point de S qui correspond à P est une fonction continue de u, et, d'après ce que nous venons de dire, il en sera donc de même de la valeur que prend en ce point la fonction f(z). Par suite, l'angle polaire du point correspondant = f(2) de la circonférence ||= 1 est aussi une fonction continue de u

y = 4 (u).

Si u varie d'un multiple de 2, il en est de même de (u). D'autre part, à deux valeurs de u qui sont incongrues modulo 2 correspondent des valeurs de (u) jouissant de 'la même propriété.

Il s'ensuit avec nécessité que, lorsque l'angle u croît d'une manière continue depuis 0 à 2, la fonction (u) varie d'une manière continue et toujours dans le même sens, et que sa variation totale est, en valeur absolue, précisément égale à 27. Donc à tout point de la circonférence |= 1 correspond bien un point de la circonférence C et, par suite, un point du contour S, ce que nous voulions établir.

D'après ce qui précède, la fonction (5) est donc continue en tout point de la circonférence = 1, et nous avons ainsi établi ce théorème:

Dans le cas où le domaine donné T est limité par une ligne simple fermée S, la relation = f(z), qui donne la représentation conforme de l'intérieur de ce domaine sur l'intérieur du cercle ≤1, établit une correspondance continue et bi-univoque entre les points de ces deux domaines, contours compris.

13. Retournons au cas général, en reprenant les hypothèses et les notations du no 11. Nous avons vu que, lorsquer décroît vers zéro, les domaines t, et, se rétrécissent constamment, et que le domaine, se réduit à la limite au seul point a. Il en résulte que tout point z pris à l'intérieur du domaine T sera extérieur à t, dès que r est suffisamment petit. Sur la frontière de T il peut, au contraire, y avoir des points, autres que a, qui appartiennent à la frontière du domaine t, quelque petit que soit r. Nous désignerons par Ea l'ensemble de tous ces points, y compris le point a. D'après un théorème connu, E. est un ensemble continu, à moins qu'il ne se réduise au seul point a.

Soit P un point quelconque de l'ensemble Ea et z son affixe. Puisque P appartient à la frontière de tout domaine t,, chacun de ces domaines renferme des points z intérieurs au cercle | 2 | <ε, quelque petit que soit &. Donc tout domaine, renferme des points pour lesquels | (5) — ≈ | < ɛ, et, puisque, se réduit pour r=0 au seul point ɑ, il en résulte que z est une valeur-limite de la fonction (5) au point a.

Soit inversement une valeur-limite quelconque de (5) au point a. Tout domaine , renfermera des points tels que () <<, quelque petit qu'on se donne ɛ. Donc tout domaine t, renfermera des points z qui sont intérieurs au cercle - <ε, ce qui montre | z que le point fait partie de la frontière du domaine t, quel que soit r, et qu'il appartient par suite à l'ensemble E..

Le domaine Ea se compose ainsi des points ayant pour affixes les différentes valeurslimites de la fonction () au point a, et constitue par suite, d'après M. PAINLEVÉ 1), le domaine d'indétermination de cette fonction au point considéré (en se bornant au cercle

=

1). Si Ea se réduit au seul point a, la fonction () est continue au point = a et tend, par suite, vers la limite a sur tout chemin aboutissant à ce point.

a

Insistons un peu sur le cas où, l'ensemble E. étant infini, la fonction (5) est indéterminée au point = a.

D'après nos hypothèses, il existe dans le cercle <1 une ligne ayant le point a comme extrémité sur laquelle (5) tend vers la limite a. Le théorème du no 5 nous apprend dès lors que, quel que soit le chemin suivant lequel tend vers a, la fonction () ne saurait tendre vers une limite déterminée différente de a. Les chemins du cercle aboutissent au point a sont donc de deux espèces: sur les uns la fonction

=

la limite a, sur les autres elle est oscillante.

<1 qui

() tend vers

On peut se demander, avec M. STUDY ), quels sont les chemins sur lesquels (3) tend vers la limite a. Le théorème établi au no 6 nous permet d'énoncer à ce sujet le résultat suivant:

1) Notice sur ses travaux scientifiques, (Paris 1900), pages 17-18.

2) Voir le § 8 du travail cité au début.

La fonction 4 (5) tend uniformément vers la limite a lorsque tend vers le point a dans

un angle quelconque ayant ce point comme sommet et dont les côtés forment avec le rayon a0 des angles inférieurs à 5·

π

2

Ce résultat se déduit immédiatement du théorème du n° 6 en faisant la représentation conforme du cercle 1 sur un demi-plan.

14. Soit maintenant L'une ligne simple comprise dans le domaine T et aboutissant au même point a de sa frontière que la ligne L, et définissons à l'aide de cette ligne L' le point a', la coupure s', et le domaine t', comme nous avions défini au no 11 le point a,, la coupures, et le domaine t, en partant de la ligne L. A L' correspond dans le cercle

<1

=

1.

une ligne simple 'aboutissant à un point déterminé a' de la circonférence Désignons par a', le point de ' correspondant à a',, par o', la coupure du cercle 1 correspondant à s',, et par ', la portion de ce cercle qui correspond au domaine tr.

Si les domaines t, et t', restent identiques quelque petit que soit r, il en est de même de, et, et, puisque ces derniers domaines se réduisent respectivement aux points a et a' lorsquer tend vers zéro, on aura donc a' = a.

soit r.

Inversement, si a'a, les domaines t, et t', resteront identiques quelque petit que En effet, puisque les segments a a, et a a', des lignes L et L' ne rencontrent pas la circonférence-ar, les segments a a, et a a', des lignes 4 et ' ne rencontreront ni la coupure σ,, ni la coupure o. Chacune de ces coupures sépare done les points a, et a', du centre du cercle, d'où il suit que chacune des coupures s, et s', sépare les points a, et a', du point O. Si ces dernières coupures étaient distinctes, il en serait de même des coupures o, et o, de sorte que ou bien la coupure σ, serait intérieure au domaine, ou bien la coupure o intérieure au domaine. Or si le premier cas se présentait, la ligne ' rencontrerait σ, avant o, et, par suite, la ligne L' rencontrerait s, avant de rencontrer s. Mais ceci est impossible puisque, parmi les différentes coupures du domaine T qui font partie de la circonférence zar et qui séparent le point a', du point 0, la coupure s est, par définition, la première que rencontre la ligne L'. On voit de même que la coupure o ne saurait être intérieure au domaine .. Donc les coupures s, et s', se confondent, d'où il suit que les domaines t, et t', sont identiques.

Donc tous les chemins aboutissant au point a sur lesquels f(z) tend vers la limite a, restent, quelque petit que soit r, compris dans le même domaine t, à partir de certains de leurs points, et, inversement, la fonction f(z) tend vers la limite a sur tout chemin jouissant de cette propriété.

Supposons maintenant que les limites a et a' vers lesquelles tend f(z) sur les lignes Let L' soient différentes entre elles. Les domaines, et seront alors extérieurs l'un à l'autre dès que r est inférieur à une certaine limite, d'où il suit que les domaines t, et l', n'auront pas de point intérieur commun. Dans ce cas on convient de désigner le point z = a auquel aboutit la ligne L et le point za auquel aboutit la ligne L' comme deux points distincts, bien que de même affixe, de la frontière du domaine T.

En adoptant cette locution, nous pouvons résumer comme suit nos résultats relatifs aux points accessibles:

A tout point accessible de la frontière du domaine T correspond un point déterminé de la circonférence S│= 1.

A deux points accessibles distincts, d'affixes différents ou égaux, correspondent toujours deux points distincts de cette circonférence.

15. Désignons par (a) l'ensemble des points accessibles de la frontière du domaine T et par a l'ensemble des points correspondants de la circonférence = 1. Comme nous l'avons déjà dit, l'ensemble (a) est dense partout sur la frontière de T. Nous allons maintenant faire voir que l'ensemble {a} est dense partout sur la circonférence = 1.

Soit en effet So un point quelconque de cette circonférence, et soit z。 une valeurlimite de la fonction () au point 5, lorsqu'on s'en approche suivant le rayon 05. Le point zz, est nécessairement situé sur la frontière du domaine T.

=

Quelque petit que soit r, on peut choisir sur le rayon 05, un point ' tel que la distance r' du point correspondant z' (') au point 2, soit inférieure à r. La circonférence | z − z。│=r', qui passe par le point z', est divisée par la frontière de T en un nombre fini ou infini d'arcs distincts, dont nous désignerons par s' celui qui contient le point z'. Soit o' la coupure du cercle 1 qui correspond à s'.

D'après le no 9, on a pour tout point de la coupure o' l'inégalité

si rro. Les extrémités de la coupure en question seront donc aussi voisines de o qu'on voudra si l'on a choisir suffisamment petit. Or ces points font partie de l'ensemble (a).

16. Il peut arriver que l'ensemble (a) ne comprenne pas tous les points de la circonférence |= 1. Chaque point de cette circonférence qui ne figure pas dans (a) est caractérisé par ce fait qu'il n'existe dans le cercle <1 aucun chemin continu aboutissant à ce point sur lequel la fonction () tendrait vers une limite déterminée. Soit o un point de cette espèce.

Imaginons dans le plan des z un réseau de carrés dont les côtés, de longueur d inférieure à q12, sont respectivement parallèles aux axes des coordonnées, l'un de ces carrés ayant pour centre le point O qui correspond au point = 0. M. CARATHÉODORY a démontré 1) qu'on peut, à l'aide de ce réseau, définir un nombre fini de coupures du domaine T, chacune de longueur inférieure à 9d, qui le divisent en domaines partiels dont celui qui renferme le point O n'atteint pas à la frontière de T, tandis que chacun des autres est limité par une de ces coupures et une portion de la frontière de T.

A ces coupures correspondent, dans le plan des, des coupures divisant le cercle 1 en des domaines distincts, dont l'un, qui renferme le centre du cercle, n'atteint pas à

1) Über die Begrenzung einfach zusammenhängender Gebiete, page 340.

4