la circonférence 'S: =1, tandis que chacun des autres est limité par un arc de cette circonférence et l'une des coupures en question. Les extrémités de ces coupures sont distinctes du point 50, puisqu'elles figurent dans l'ensemble (a).

Parmi ces domaines du cercle 5 <1 choisissons celui dont le contour comprend le point 50. Nous désignerons par à la coupure qui sépare ce domaine du reste du cercle, et par l la coupure correspondante du domaine T.

Imaginons maintenant qu'on applique le même procédé que ci-dessus en remplaçant successivement d par

On arrive ainsi à une suite bien déterminée de cou2' 2

2" pures du domaine T, (6)

1, 11, 12,...,1,...,

,.

d d

d

dont les longueurs tendent vers zéro et auxquelles correspondent, dans le cercle 15:<1, des coupures (6)'

2, 21, 22, ...,2.,...

dont les extrémités sont distinctes du point So et qui séparent ce point du centre du cercle.

9 d La longueur de la coupure In étant inférieure à la quantité les théorèmes des nos 8 et 9 nous apprennent que, dès que cette quantité est inférieure à la limite ro calculée page 18, les inégalités

0

sont vérifiées pour tout point & de la coupure 2.. Donc 2x tend vers le point So lorsque n augmente indéfiniment.

Les extrémités des coupures (6) admettent un ou plusieurs points-limites, tous situés sur la frontière du domaine T. Soit z, un de ces points, et, de z, comme centre, traçons une circonférence C, de rayon r(q).

Il est facile de voir que, parmi les arcs de cette circonférence qui sont intérieurs au domaine T, il y en a au moins un auquel correspond dans le cercle 15! <1 une coupure séparant le point So du centre ŝ=0. En effet, d'après ce qui précède, il y a parmi les coupures (6) une infinité qui sont intérieures au cercle Cr. Soient In une de ces coupures, P un point de In distinct de ses extrémités, et si le point correspondant de la coupure an. Puisque les points P et O sont situés respectivement à l'intérieur et à l'extérieur de Cr, l'un au moins des arcs de C, qui sont intérieurs à T sépare ces points l'un de l'autre (voir la note page 20). Soit s un arc de Cr jouissant de cette propriété. La coupure correspondante du cercle 151 < 1 sépare le point Il du point Ś=0, et, comme elle n'a aucun point commun avec la coupure år, puisque s et ln n'ont pas de point commun, elle sépare donc toute cette coupure, et par suite aussi le point So, du centre du cercle.

Soient, par ordre de longueurs décroissantes,

.

les coupures du domaine T faisant partie de la circonférence C, auxquelles correspondent, dans le cercle $ <1, des coupures

séparant le point so du centre du cercle.

Parmi les coupures (7)' il y a une qui est extérieure à toutes les autres, de sorte qu'elle les sépare du centre du cercle '). Soit o, cette coupure bien déterminée et s, l'arc correspondant de la circonférence Cr, et désignons, d'autre part, par t, la portion que o, retranche du cercle [5]<1 et qui admet 5, comme point de contour, et par t, la portion correspondante du domaine T.

Pour toute valeur de r inférieure à q nous avons ainsi défini un domaine partiel tr de T, limité par un certain arc s, de la circonférence 2 – 2,=r et une portion de la fron

| tière de T, auquel correspond dans le cercle $ <1 un domaine t, limité par la coupure 0,, correspondant à sx, et un arc de la circonférence 151=1 qui comprend le point Go.

Si r'<r, le domaine tv fait nécessairement partie de tr, d'où il suit que le domaine t, fait partie de tr. En effet, puisque la coupure s... et le point ( sont respectivement intérieure et extérieur à la circonférence 12 – 20-=r, il y a certainement un arc de cette circonférence qui sépare s, de 0 (voir page 20). La coupure correspondante du cercle 15 <1 sépare 0,., et par suite aussi le point So du centre ŝ=0, d'où il suit qu'elle figure parmi les coupures (7)'. Puisque, par définition, o, est celle de ces coupures qui sépare toutes les autres du centre du cercle, elle séparera donc aussi la coupure 0, de ce point, ce qui démontre l'exactitude de notre assertion.

Donc, lorsque r décroît, les domaines i, et t, se rétrécissent constamment. Puisque la coupure s, tend vers le point 2, lorsque r tend vers zéro, la coupure Or, d'après les théorèmes des nos 8 et 9, tendra vers le point &o, de sorte que le domaine 7, se réduira à la limite à ce seul point. Comme plus haut (page 23) on en conclut que, pour r=0, le domaine 1, se réduit à l'ensemble Ex des points ayant pour affixes les différentes valeurs-limites de la fonction 4 (5) au point to, ou, en d'autres termes, au domaine d'indétermination de la fonction 4 (5) relatif à ce point. Puisque cette fonction est, par hypothèse, indéterminée au point So, Ez. est un ensemble infini, nécessairement continu.

L'ensemble Es comprend évidemment le point zo, puisque la coupure sr tend vers ce point lorsque r décroît vers zéro. D'après ce qui précède, le point 2, jouit de la propriété suivante:

Quelque petit qu'on se donne le rayon r, il existe toujours au moins un arc de la circonférence 12–201=r auquel corresponde, dans le cercle 151 <1, une coupure séparant le point so du centre de ce cercle.

Appelons avec M. CARATHÉODORY points principaux de Es. les points de cet ensemble qui partagent avec 20 la propriété en question. Les autres points de Es, seront appelés points accessoires.

') Ceci est évident s'il n'y a qu'un nombre fini de coupures (7)', puisqu'elles ne se coupent pas à l'intérieur du cercle, et résulte, dans le cas où le nombre de ces coupures est infini, des théorèmes des nos 8 et 9, qui font voir que o() tend vers le point Šo lorsque n croit indéfiniment.

Les résultats obtenus ci-dessus pour le point 2, s'appliquent évidemment à tout point principal de Es., et nous pouvons donc adjoindre à chacun de ces points un domaine jouissant des mêmes propriétés que le domaine 1, défini ci-dessus.

17. Soit G = So un point de la circonférence 1$ = 1 qui ne figure pas dans l'ensemble

| (a), et soit zo l'affixe d'un point principal quelconque de l'ensemble Es. D'après les propriétés des points principaux, il existe dans un voisinage arbitrairement restreint du point 50 des coupures qui le séparent du centre § = 0 et sur lesquelles la différence ($) — 2, est inférieure en valeur absolue à telle quantité qu'on voudra. On en tire cette conclusion:

Sur un chemin continu quelconque du cercle 15 <1 qui aboutit au point Go, la fonction 4 (5) admet comme valeurs-limites les affixes de tous les points principaux de l'ensemble Ex,

M. CARATHÉODORY a démontré 1) qu'il existe des chemins sur lesquels la fonction 4 (5) n'admet d'autres valeurs-limites que celles-là, mais il n'est pas arrivé à définir ces chemins d'une manière précise. M. STUDY a émis la supposition ?) que la propriété en question appartient au rayon aboutissant au point to. Enfin M. Koebe a démontré 3) que, si la supposition de M. Study est exacte, toute corde issue du point to jouit de cette même propriété.

La méthode dont nous nous sommes servi systématiquement dans ce Mémoire va nous permettre de trancher cette question, en démontrant le théorème que voici:

Sur un chemin qui tend vers le point Go de telle manière qu'il reste, à partir d'un certain point, compris entre deux cordes issues de So, la fonction (5) ne saurait admellre comme valeurlimite l'affixe d'aucun point accessoire de l'ensemble Es.

Au lieu de deux cordes issues du point $o, envisageons deux arcs de cercle, T, et l2, joignant ce point avec le point diamétralement opposé Só (voir la figure page 29). Si notre théorème n'était pas vrai, il existerait dans l'aire limitée par T, et I., une suite de points

tendant vers So, tels que les valeurs de la fonction y(s) en ces points tendraient vers l'affixez d'un point accessoire de Ex. Les points correspondants

du domaine T tendraient donc vers le point 2= z', qui est situé sur la frontière de ce domaine.

De z' comme centre traçons une circonférence de rayon r (<9), et désignons par (s) les arcs de cette circonférence intérieurs au domaine T, et par (0) les coupures correspondantes du cercle 15.31. D'après la définition des points accessoires de Es., il arrivera pour une certaine valeur ro de r qu'aucune des coupures (o) ne sépare le point so du point

1) Über die Begrenzung einfach zusammenhängender Gebiete, Chapitre III.
2) Voir le § 8 du travail cité au début,
3) Ibidem, page 127

เ

(1)

et par

(1) S

ro

(1)

(1)

dre

G=0. Cette même circonstance se présentera alors aussi pour toute valeur r inférieure à ro, comme on le voit par un raisonnement répété déjà plusieurs fois.

Puisque les points (8)' tendent vers le point z', ils seront, à partir d'un certain d'entre eux, Pys, tous intérieurs au cercle | 2 – 2'<lo. Soit r, la distance de P», au point z', et soit Sr, celui parmi les arcs de la circonférence 2 – 2' =r, interceptés par le domaine T qui contient le point Pvz. A s,, correspond dans le cercle $1<1 une coupure, Orne qui passe par le point IIx, et laisse du même côté les points &= 5o et Ŝ=0.

Le point Pr, étant intérieur à la circonférence 2-z']=ro, il se trouvera nécessairement des arcs de cette circonférence qui séparent Px, du point 0. Les coupures correspondantes du cercle 151 <1 sépareront le point Ily, et par suite aussi 0,,, du centre du cercle, d'où l'on conclut, d'après les no 8 et 9, que leur nombre est nécessairement fini. Comme d'ailleurs ces coupures ne se rencontrent pas à l'inté

5. rieur du cercle, l'une d'elles sera extérieure à toutes les autres. Nous désignerons cette coupure bien déterminée par o

E l'arc correspondant de la circonférence : -2=ro. Parmi les points (8) qui suivent Ilv,, soit 17, le premier

0 situé du même côté de la coupure , que le centre du cercle,

o et soit r, la distance du point correspondant Py, au point z'. En partant du point Px,, définissons l'arc sr, de la circonférence

2– 2' =r, et l'arc s, de la circonférence 12 – 2' =ro comme nous avions défini sr, et en partant du point Py. A sr, cor

s respondra dans le cercle 151 <1 une coupure or, passant par le point 11,,, à une coupure

0,, s, o séparant Ilv, et 0,, du centre G=0. Puisque omne sépare pas II., de ce point, les cou

,, (1) pures et o

o et o, seront nécessairement distinctes, d'où il suit que l'arc s est distinct de l'arc s, ce qui est essentiel pour la suite.

Choisissons maintenant, parmi les points qui suivent Ily, dans la suite (8), le premier point 11,, qui soit extérieur aux coupures or et n... En suivant les mêmes principes que ci

II, dessus, nous trouverons une coupure or, passant par 11,, et une coupure o, qui sépare 11,, et o,, du point š=0 et à laquelle correspond un arc de la circonférence 2–2' = 0s,

12 ro qui est distinct des arcs sets,

Ce procédé peut se poursuivre indéfiniment.
Puisque les arcs s

de la circonférence 2 --2'=r, sont tous distincts entre eux, leurs longueurs tendent vers zéro. En désignant par zn l'affixe du milieu de l'arc s'

, ,

' on voit donc que, quelque petit qu'on se donne le nombre positif ε, on pourra trouver un entier positif na tel qu'on ait

(2)

2

(1)

(2)

10

(2)

(1)

, (2)

(2)

Puisque les arcs Sri, Srg, ... tendent vers le point z', il existe d'autre part un entier positif n's tel que l'on ait

(10)

14($) — 2' < & sur la coupure Orn dès que n>ns.

(n)

D'après le théorème établi au n° 9, les longueurs des arcs que les coupures Orneto interceptent de la circonférence 15=1 tendent vers zéro lorsque n augmente. D'autre part,

, comme Orin passe par le point Ily, qui tend vers 5o lorsque n croît, le même théorème nous apprend que les extrémités de la coupure Orin tendront vers le point to. Il en sera donc de même des extrémités de la coupure o. qui comprennent entre elles celles de 0r. Puisque d'ailleurs aucune de ces coupures ne sépare le point Si du centre Ğ=0, nous pouvons de tout cela tirer cette conclusion que, à partir d'une certaine valeur de n, les extrémités des deux coupures Orn

et 0

feront toujours partie du même are so só de la circonférence Ś =1.

(n)

(n)

10

Après ces préliminaires, nous allons appliquer à la fonction y (5) les considérations développées au n° 3. Afin de simplifier la discussion, effectuons d'abord un changement de variable en posant

Ś - So (11)

= log

$-86

0

U=

Au cercle 5 <1 il correspondra, dans le plan des u, une bande de largeur a, limitée par deux parallèles KL et K'L' à l'axe réel qui correspondent aux moitiés de la circonférence

$1=1 situées respectivement à droite et à gauche du diamètre 5.56 (Cf. la figure page 29). La fonction 4 (5) se transformera en une fonction de u,

4($)= v(u),

qui est régulière dans cette bande. Aux arcs I, et 12 correspondront des parallèles à l'axe réel. Enfin les coupures et Orm, en admettant que leurs extrémités fassent partie de l'arc

o, So So situé à droite du diamètre 5o Só, seront transformées en des lignes ABC et A, B,C,

disposées comme l'indique la première des figures ci-dessus, où la droite EF correspond à l'arc T.

D'après les résultats (9) et (10) on a, en supposant que n est supérieur aux entiers ne et n's, (9)

1 (u) — 2n1 < € sur la ligne ABC

et d'autre part

(10)'

1 Y(u)-2' < & sur la ligne A,B,C,.