2
3

Or on peut conclure de la première de ces inégalités que, en tout point de la droite EF qui est intérieur au domaine U limité par la ligne ABC et le segment rectiligne AC, l'expression 4(u) — 2x reste inférieure à une certaine expression qui tend vers zéro avec ɛ et qui ne dépend pas de n.

Portons en effet, sur la plus grande ordonnée HB de la ligne ABC par rapport à l'axe KL, un segment H B' égal à HB, et menons par les points B et B’ des parallèles MN et M'N' à l'axe réel (voir la seconde figure ci-dessus). Puis choisissons dans le domaine U un point quelconque P situé sur la droite M'N' ou au-dessus d'elle, et, de ce point comme centre, traçons un cercle tangent à la droite KL. Soit 2 la portion commune de ce cercle et du domaine U qui renferme le point P, et désignons enfin par M, et N, les points où le cercle en question coupe la droite M N.

La fonction 4' (u) - 2r est régulière dans e, et son module est inférieur à K en tout point de ce domaine et inférieur à ε sur les arcs de son contour qui font partie de la ligne ABC. Puisque, d'après notre construction, l'arc M, N, du cercle considéré, qui est extérieur au domaine 9, comprend au moins un tiers de sa circonférence, nous pouvons en conclure, d'après le n° 3, qu'on a au point P

1

2

&

Cette inégalité subsiste donc en tout point du domaine U situé sur M'N' ou au-dessus de cette droite.

Désignons par U' la portion du domaine U située au-dessous de la droite M'N'. En admettant que <<K, d'où l'on tire K3 şi > , l'inégalité (12) sera vérifiée sur le contour de U', excepté le segment rectiligne AC. Dès lors, si l'on mène une parallèle M"N" à l'axe réel à la distance ' H B'=(*)*HB de la droite Kl, on conclut par le même raisonnement

KL que ci-dessus que l'inégalité (12)'

|

— < (K

2 3

est vérifiée en tout point du domaine U qui est situé sur M"N" ou au-dessus de cette droite.

En poursuivant le même raisonnement on trouve que, quel que soit l'entier p, l'inégalité

aura lieu pour tout point du domaine U dont la distance à la droite K L est supérieure ou

égale à (1) HB, K' désignant une constante positive qu'on peut égaler à K si K>1, et à

3

2

K 3 si K<1.

La distance HG des droites E F et KL vérifie l'inégalité > HB > HG. En déterminant l'entier pe par la condition

x <HG,

P.

on aura donc pour tout point de la droite EF compris dans le domaine U (13)

| 4 (u) – 2n1 <K' 83.

skiego

1

C'est l'inégalité que nous avions annoncée ci-dessus.

La ligne A,B,C, aura au moins deux points communs avec la droite E F (les points E, et F, dans la première figure page 30). En ces points les inégalités (10) et (13) auront donc lieu en même temps, d'où l'on déduit

1

Mais on a 12,-2=r, pour toute valeur de n, de sorte qu'il vient

Or cette conclusion implique une contradiction si l'on a choisi le nombre ε suffisamment petit, et notre théorème est donc exact.

D'après ce théorème, l'ensemble des points principaux de Es. se confond avec le domaine d'indétermination de la fonction 4(5) au point so relatif à la portion du cercle 18 <1 comprise entre deux arcs de cercles tels que li et I, (voir la figure page 29). résulte que les points principaux de Ez. forment un ensemble continu, résultat qui avait déjà été obtenu par M. CARATHÉODORY par une autre voie (Cf. la première note page 28).

18. En terminant ce Mémoire nous allons enfin, ne fût-ce que pour prouver l'efficacité de notre méthode, établir un théorème nouveau relatif aux propriétés de la fonction 4 (5) dans le voisinage d'un point de la circonférence 6 =1 qui ne figure pas dans l'ensemble {a}.

Soit So un tel point, et soient zo et z', les affixes de deux points principaux distincts de l'ensemble Ex. Il existe alors dans le cercle 15 <1 deux suites de coupures tendant vers le point to: (14)

01, 02, .

...,on,...

et

(14)

01.01,...,0,..., qui vérifient les conditions suivantes :

1° Chacune de ces coupures sépare le point 6o du point &=0.
2o Chaque coupure sépare celle qui la suit du point š=0.

3o Entre les coupures on et ont i de la suite (14) est toujours comprise la coupure on: de la suite (14)'.

4o Sur on la fonction 4 (5) tend vers la limite 2, et sur 6', vers la limite z, lorsque n augmente indéfiniment.

Traçons dans le cercle 1 $1 <1 un arc de cercle l' joignant le point so avec le point diametralement opposé 50, et désignons par ir le dernier point où cet arc rencontre la coupure on, et par Yn+i le premier point où il rencontre la coupure On+1, en allant de So à s'n. Nous allons démontrer ce théorème:

Le nombre Métant donné aussi grand qu'on voudra, on aura, à partir d'une certaine valeur de n,

Yn

> M, 60

Yn + 1

0

quel que soit l'arc r.

En particulier, les rapports

n

où an et Bre désignent les extrémités de la coupure on, tendront vers l'infini lorsque n croît indéfiniment.

En admettant que ce théorème n'est pas vrai, il existera un nombre positif M, tel que, quelque grand qu'on se donne l'entier no, on puisse trouver un entier n supérieur à no et un arc r pour lesquels l'inégalité

r

Yn

on

on

n

soit vérifiée.

Cette fois encore nous nous servirons de la substitution (11). A la portion du cercle 15 <1 comprise entre les coupures on et 0,8 +1 il correspondra, dans le plan des u, une aire limitée par deux parallèles KL et K'L' à l'axe réel à la distance a l'une de l'autre, et par deux lignes A, B, et An+1 Bn+1 qui les réunissent, et qui correspondent respectivement aux coupures on et on +1. L'arc r sera transformé en une parallèle E F à l'axe réel, laquelle, en allant de gauche à droite, rencontrera la ligne An+1Bn+1 pour la première fois au point Gn+1, correspondant à Yn+1, et la ligne A,B, pour la dernière fois au point Gn qui correspond à Yn (voir la première figure page 34).

La longueur du segment rectiligne GnGo +1 est égale à

Bn+1 5

tend vers l'unité lorsque n augmente, on aura donc d'après (15), en désignant par l une constante supérieure à log Mo,

G, Gn+1 <1,

pourvu qu'on ait choisi ne suffisamment grand.

En admettant que la distance des droites E F et K'L' soit > , désignons par G., et

2: Gr + 1 les premiers points, à partir de B, et Bn+1, où les lignes B, A, et B1 +1 Ar +1 rencontrent EF (dans la figure le point Gn+ 1 se confond avec Gn+1). On aura

Faisons maintenant la représentation conforme de la bande comprise entre les droites EF et K'L' sur le cercle v1 <1, de façon que ces droites correspondent, respectivement aux moitiés inférieure et supérieure de la circonférence | v!=1 et que le milieu du segment

2

Gm Gm +1 corresponde au point v=-i. Soient bug'n et bu+19'n +1 les lignes du cercle v1<1 correspondant à B, G, et Br +1 G'n +1. En tenant compte de l'inégalité (16) et de ce que la

( distance des droites EF et K'L' est >, on conclut aisément que la longueur de l'arc g'ng'n+1, lequel admet comme milieu le point -i, est inférieure à er, où e désigne un nombre positif plus petit que l'unité qui reste le même quelque grand que soit no (voir la seconde figure ci-dessus).

Posons 4 (5)=(u)=x(v) et considérons la fonction x(v) – 20. Elle est régulière dans le cercle 10: <1, et son module est inférieur à K en tout point de ce cercle et inférieur à tel nombre ε qu'on voudra sur les lignes bog'n et bm+19+1 si l'on a choisi l'entier no suffi

bn samment grand. Or chacune de ces lignes retranche de la circonférence 1v1=1 un arc dont la longueur est >*(1-0). En déterminant l'entier p par la condition

+1

+1

a lieu pour tout point P de l'axe réel compris entre le dernier point, On+ 1, où l'on rencontre la ligne brı+199+1 et le premier point, Cm, où l'on rencontre la ligne bo, en suivant l'axe réel depuis v=-1 à v=1.

- 1 à v=1. En effet, en faisant la représentation conforme du cercle | v1<1 sur lui-même de telle façon que les points - 1 et 1 restent invariants tandis que le point P soit transféré au centre du cercle, on constate aisément, à l'aide des propriétés bien con

nues des substitutions linéaires, que l'une au moins des lignes qui correspondront à bog'm et en +19n+1 retranchera de la circonférence du cercle un arc de longueur supérieure à (1 – ), et l'exactitude de notre assertion résulte donc du n° 3.

Au segment Cnenti de l'axe réel du plan des v correspond, dans le plan des u, un segment rectiligne parallèle à l'axe réel qui joint les lignes A, B, et An+1 Bn+1, et par suite, dans le plan des z (voir la figure page 33), un arc de cercle joignant les coupures o, et on +1. D'après ce qui précède, l'inégalité

est donc vérifiée en tout point de cet arc. Mais celui-ci rencontrera nécessairement la coupure on, sur laquelle est vérifiée l'inégalité

14($) - 2'<

si l'on a choisi l'entier ne suffisamment grand. Aux points d'intersection de ces lignes les deux inégalités ci-dessus auront donc lieu à la fois, d'où l'on tire

Or cette conclusion implique une contradiction si l'on a pris è suffisamment petit, d'où suit l'exactitude de notre théorème.

(ACHEVÉ D'IMPRIMER LE 17 JUILLET 1915)

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