fonction monogène, régulière à l'intérieur de ce domaine et vérifiant en outre les conditions suivantes: 1o Elle est bornée dans le domaine 2, c'est-à-dire que son module |f(2) y reste au-dessous d'une limite finie M. 2o Si le point z du domaine 2 est suffisamment rapproché de certains arcs (7) du contour C, le module |f(z)| vérifie l'inégalité plus étroite |f(2) |<σ, o désignant une constante positive inférieure à M. Quant aux arcs (7), nous admettrons cette dernière hypothèse: (2) 5= 4, (2), 2 = 4,(5) (v = 1, 2,...,n-1), donnant la représentation conforme du domaine 2 sur certains domaines simplement couverts 21, 22,..., 2-1, de telle manière que chacune de ces transformations laisse invariant un certain point, pris à l'intérieur de 2, et que la portion commune 2, des domaines 2, 21, 2-1 qui renferme ce point z, soit limitée uniquement par des segments des arcs (7) et de leurs transformés par les substitutions (2). Dans ces conditions, le module de la fonction f(z) vérifie au point zo l'inégalité En effet, la substitution (2) transforme f(z) en une fonction de fv (5) = f(4v (5)) qui est régulière dans 2,, et dont le module est inférieur à M dans tout ce domaine et inférieur à σ aux points qui sont suffisamment rapprochés des segments de son contour correspondant aux arcs (7) du contour C. Puisque par hypothèse (20) = 20, on aura d'ailleurs fv(20) = f(≈0). On en conclut que la fonction F(2) = f()f(≈) · · • f −1 (2) -1 0 est régulière dans la portion commune 2, des domaines 2, L1, . . ., 2n − 1, et que son module est inférieur à M"-lo en tout point du domaine 2, qui est suffisamment rapproché d'un point quelconque de son contour. 0 qui correspondent de la même manière aux points d'une circonférence complète, constitue une ligne simple fermée. Nous supposons ici connues les propriétés des lignes simples et des domaines qu'elles limitent, en renvoyant pour ces questions au Cours d'Analyse de M. CAMILLE JORDAN, au Mémoire de M. BROUWER: Beweis des Jordanschen Kurvensatzes (Mathematische Annalen, t. 69, 1910) et aux Mémoires de M. CARATHÉODORY cités au début. En vertu du principe fondamental, l'inégalité |F(2)|<M"-'o aura donc lieu en tout point situé à l'intérieur du domaine 2.. Or cette inégalité se réduit pour = 20 au résultat cherché (3). Considérons en particulier le cas, qui interviendra souvent dans la suite, où le domaine 2 est constitué par un cercle C de centre z。 dont on aura enlevé certaines portions par des coupures, lesquelles joueront ici le rôle des arcs (y). Admettons d'ailleurs que le domaine (couvert de hachures dans la figure ci-jointe) renferme intérieurement le point 20. Soit AB le plus grand parmi les arcs que les coupures (r) interceptent de la circonférence C. En prenant l'entier n assez grand pour que la nième partie de cette circonférence soit inférieure à AB, on pourra choisir comme substitutions (2) les n-1 rotations suivantes autour du point 2: En effet, on voit immédiatement que, dans ces conditions, tout point de la circonférence C sera extérieur à l'un au moins des domaines 2, 21,..., 2,-1, d'où il suit que la portion commune de ces domaines qui renferme le point 2, est limitée uniquement par certains segments des coupures (r) et de leurs transformées par les rotations considérées 1). 4. Après ces généralités, nous allons déduire de notre principe un théorème qui joue un rôle important dans différentes branches de l'Analyse. Pour mieux faire ressortir l'idée de la démonstration, nous nous placerons d'abord dans des conditions aussi simples que possible 2). Soit f (2) une fonction monogène de la variable z = a +re1o qui est régulière à l'intérieur du domaine T défini par les inégalités et continue encore sur son contour, excepté peut-être le point a. Si cette fonction tend vers une même limite o lorsque z tend vers a suivant le rayon 4 = 41 ou suivant le rayon = 42, et si elle est bornée dans le domaine T, elle tendra uniformément vers w dans l'angle 1<<92, de sorte qu'elle sera continue encore au point z=a. Si, au contraire, la fonction f(z) tend sur les rayons en question vers des limites déterminées mais différentes entre elles, elle ne saurait être bornée dans le domaine T. Si ce théorème est démontré pour une certaine valeur de l'angle 2-1, on l'étend immédiatement à une autre valeur quelconque de cet angle par une substitution de la forme 1) Sous une forme différente, le procédé dont nous nous servons ici avait déjà été utilisé par d'autres auteurs, notamment par M. PAINLEVÉ dans sa Thèse: Sur les lignes singulières des fonctions analytiques, page 29. 2) On peut aussi établir ce théorème en faisant la représentation conforme du domaine T sur un cercle, puis en appliquant la formule de POISSON. Voir par exemple le travail de l'auteur: Mémoire sur certaines inégalités dans la théorie des fonctions monogènes et sur quelques propriétés nouvelles de ces fonctions dans le voisinage d'un point singulier essentiel (Tome XXXV de ce Recueil). - Sans restreindre la généralité, nous pouvons donc supposer qu'on ait 1 Admettons d'abord que f(z) tende vers la même limite o sur les rayons = 4, et 992. Le nombre positif & étant donné, nous pouvons alors déterminer un nombre R. (<R) tel que, si sur les rayons en question on découpe des segments a A et a B de longueur R., l'inégalité |f(z) — <ε sera vérifiée pour tout point de ces segments, excepté le point a. Prenons à l'intérieur de T un point quelconquez, compris dans le cercle | z − a │< R., et, de z。 a<1⁄2 2 comme centre, traçons une circonférence C qui passe par le point a. Cette circonférence découpe du domaine T une portion 2, limitée par deux segments rectilignes aa et ap, faisant respectivement partie des segments a A et a B, et l'arc aß de la circonférence C. La somme des angles az, a et az, étant égale à 2x — 2(2-1) et, par suite, supérieure à, l'un au moins de ces angles dépassera. Il s'ensuit que, si l'on fait tourner le domaine 2 trois fois de suite autour du point z,, chaque fois de l'angle 2 et si l'on désigne par 21, 22, 23 les domaines ainsi obtenus, la π portion commune 2, de 2, 21, 22, 2, sera située tout entière à l'intérieur de C et, par suite, limitée uniquement par certaines portions des segments a a et ap et de leurs transformés par les rotations considérées. En vertu de nos hypothèses, la fonction f(z) ∞ est régulière dans le domaine 2, et son module y reste au-dessous d'une limite finie M. D'autre part le module de cette fonction est inférieur à ε en tout point des segments a a et aß, à l'exception du seul point a; mais celui-ci restera, ainsi que tous ses transformés, à l'extérieur du domaine 2.. En appliquant à la fonction f(2) les considérations du n° 3, on trouve donc 3 | f ( ≈ o ) − œ \ * < M3 ɛ ou bien f — et, puisque cette conclusion est valable pour tout point 2, compris dans le cercle | z − a | < 1⁄2 Rɛ, on voit bien que la fonction f(z) tend uniformément vers Supposons maintenant que f(z) tende sur les rayons différentes, et 2, et considérons la fonction dans l'angle 1<<42• = 41 et = 42 vers des limites En vertu de nos hypothèses, cette fonction est régulière dans le domaine T et continue encore sur son contour, excepté le point a; de plus elle tend sur chacun des rayons considérés vers Si la fonction f(z) était bornée dans T, il en serait de même de F(z), et, en vertu de la première partie de notre théorème, cette dernière fonction devrait donc tendre unifor 2 mément vers la limite (",") dans l'angle 1<<42. Mais cela exige que f(z) y tende 1 uniformément soit verso,, soit vers 2. Puisque cette conséquence n'est pas compatible avec notre hypothèse, on voit donc que, si cette hypothèse se trouve vérifiée, la fonction f(z) ne saurait être bornée dans le domaine T. 5. Le théorème que nous venons de démontrer peut être généralisé comme suit: Supposons que la fonction monogène f(z) soit régulière dans un domaine T admettant comme contour une ligne simple fermée S, et qu'elle soit continue encore sur ce contour, excepté peut-être un certain point a. 1 2 Soient S1 et S2 les portions de S limitées par le point a et un autre point quelconque P de ce contour. Si la fonction f(z) tend vers une même limite o lorsque z tend vers a suivant S, ou suivant S2, et si elle est bornée dans T, elle tendra uniformément vers o lorsque z tend vers a dans ce domaine, et sera donc continue encore pour z = a. 1 Si, au contraire, la fonction f(z) tend sur S1 et S2 vers des limites distinctes lorsque z tend vers a, elle ne saurait être bornée dans le domaine T. Il suffira de démontrer la première partie de ce théorème, car la seconde partie s'en déduit comme au numéro précédent. Du point a comme centre traçons une circonférence C, de rayon r qui coupe le contour S. Cette circonférence divise le domaine T en un nombre fini ou infini de portions distinctes, dont une seule, qui sera désignée par T, et qui est couverte de hachures dans la figure à côté, admet 2 a comme point de frontière. Désignons par A, et A, les premiers points, à partir du point a, où les 1 2 2 2 1 lignes S, et S2 rencontrent la circonférence Cr. Les segments a A, et a A2 de ces lignes divisent le cercle za <r en deux domaines distincts, dont l'un, que nous désignerons par T,, renferme T, comme partie. Nous admettrons que l'arc A, A 2 de C, qui fait partie de la frontière de T, est inférieur à 12πr, ce qui ne restreint pas la généralité puisqu'on peut toujours réaliser cette hypothèse par la substitution - a = (≈ — a)3. linéaire 3 1 a S. Prenons maintenant un point z, à l'intérieur de T, et effectuons la transformation 20 étant lé conjugué du point 2, par rapport à la circonférence Cr. Cette transformation laisse invariants les points zo et zo et transforme en elle-même la circonférence C,. Si l'on fait tendre zo vers a, zo tendra vers l'infini et la transformation (5) se réduira à la limite à une Zo a | rotation de l'angle autour du point a. Il s'ensuit que, si le rapport est inférieur à un certain nombre positif, l'arc 4,42 de la circonférence C,, qui est par hypothèse inférieur à 2ør, sera transformé par (5) en un arc A'A', de la même circonférence n'ayant aucun point commun avec A ̧Â1⁄2. 3 1 1 1 2 Le domaine T, est limité par certaines portions de l'arc A, A, et certains segments (s) du contour S qui sont compris dans le cercle za <r., Le transformé T de T, par | la substitution (5) sera donc limité par certaines portions de l'arc A', A', et par les transformés (s') des segments (s) (les lignes (s') sont marquées en pointillé dans la figure ci-dessus). Puisque les arcs A, A, et A'A', n'ont pas de point commun, la portion commune 2, des domaines T, et qui renferme le point z, est située tout entière à l'intérieur du cercle zar, et son contour se compose donc exclusivement de certaines portions des segments (s) et (s'). T 1 2 Après ces préliminaires, considérons l'expression F(2) = († (≈) — w) (f1 (2) — w ), où la fonction f, est définie par la relation f1(?)=f(z). Par hypothèse, le module |f(z) — w | reste au-dessous d'une limite finie M dans le domaine T, et par suite aussi dans T. On aura donc aussi fi (2) - w│< M dans T. D'autre part, si le nombre positif & est donné, on peut déterminer R. de telle sorte que l'inégalité |ƒ(2) - w | < & soit vérifiée sur les segments (s), excepté le seul point a, dès que r est inférieur à R. Pour ces valeurs de r on aura donc aussi f1(2) - < & sur les segments (s'), excepté le point a' qui se déduit de a par la transformation (5). En somme on voit donc que la fonction F(z) est régulière et bornée dans 2., et qu'elle est continue et vérifie l'inégalité | F(z) | < M & sur la frontière de ce domaine, excepté peut-être les points a et a'. D'après le n° 2 on en conclut que l'inégalité en question subsiste aussi à l'intérieur de 2 et, en particulier, au point z。, où elle se réduit à 0 Ce résultat est ainsi établi pour tout point z, du domaine T qui est compris dans le cercle | ≈ — a │<μ R., d'où suit notre théorème. 6. Voici maintenant une nouvelle généralisation du théorème du n° 4, dont nous aurons également à tirer parti 1). Soit f(z) une fonction monogène de la variable z=a+re1o qui est régulière et bornée à l'intérieur du domaine T défini par les inégalités (4). Admettons que f(z) tende vers une limite déterminée o lorsque z tend vers a suivant une certaine ligne simple L faisant partie du domaine T. Cette ligne pourra avoir aussi des points communs avec les rayons qui limitent le domaine T, à condition que la fonction f(z) reste continue en ces points. (6) Dans ces conditions, la fonction f(z) tendra uniformément vers la limite o dans l'angle ¶ 1 + ε << 4 2 — E, quelque petit qu'on se donne le nombre positif &. ') Dans le cas particulier où L est un rayon issu du point a et compris dans l'angle ¶,<<❤2, co théorème avait déjà été établi par M. MONTEL dans son Mémoire: Sur les familles de fonctions analytiques qui admettent des valeurs exceptionnelles dans un domaine (Annales de l'École Normale Supérieure, t. 29, 1912). |