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TOM. XLVI. N:o 7.

Zur Theorie der Lobatscheffskij'schen Geometrie

von

Severin Johansson.

Helsingfors 1917.
Druckerei der Finnischen Litteraturgesellschaft.

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1. Es giebt im Lobatscheffskij'schen Raum dreierlei Arten von Strahlenbündeln. Das Bündel erster Art besteht aus allen Geraden, die durch einen Raumpunkt gehen; das Bündel zweiter Art oder das Parallelenbündel enthält alle Geraden des Raums, die mit einer gegebenen Geraden in der einen Richtung und also mit einander parallel sind; das Bündel dritter Art schliesslich ist aus allen Geraden zusammengesetzt, die auf derselben Ebene, der Polarebene des Bündels, senkrecht stehen.

Jede durch einen Bündelstrahl gehende Ebene nennen wir eine Diametralebene des Bündels; der Schnitt zweier Diametralebenen ist wiederum ein Strahl des Bündels.

Diejenigen Strahlen, die eine Diametralebene erzeugen, bilden ein ebenes Strahlenbüschel. Jenachdem das Bündel von der ersten, zweiten oder dritten Art ist, besteht das ebene Büschel aus allen Strahlen der Diametralebene, die durch einen Punkt gehen, aus allen Strahlen eines ebenen Parallelenbüschels oder aber aus allen Strahlen, die auf der Spurlinie der Polarebene in der Diametralebene senkrecht stehen. Die Spurlinie nennen wir die Polare des ebenen Büschels. Übrigens sagen wir, dass die dreierlei Strahlenbüschel bezw. von der ersten, zweiten oder dritten Art sind.

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2. Man bemerkt sogleich, dass eine beliebige Ebene und eine in ihr nicht liegende Gerade immer demselben Strahlenbündel als Diametralebene und Strahl angehören. Sie bestimmen dabei das Bündel eindeutig.

Ist nämlich g die Gerade und E die Ebene und g' die Projektion von g auf E, so sind drei Möglichkeiten vorhanden. Entweder schneidet nämlich g die Projektion g', oder aber g und g' sind parallel, oder sie haben schliesslich eine gemeinsame Senkrechte. Im ersten Fall bestimmen g und E ein Bündel erster Art mit dem Schnittpunkt als Bündelzentrum; im zweiten Fall bekommen wir ein Bündel zweiter Art, falls wir diejenigen Geraden in Betracht ziehen, die mit g und g' parallel sind. Wenn wir in dritten Fall die gemeinsame Perpendikularebene zu g und g durch ihre gemeinsame Senkrechte legen, so bilden diejenigen Strahlen, die auf der Perpendikularebene senkrecht stehen, das gemeinte Bündel dritter Art des Raums.

3. Die Frage nach dem Schnitt zweier Diametralebenen erledigt sich einfach für die Bündel erster Art. Die Diametralebenen schneiden sich nämlich dann immer, weil sie das Bün. delzentrum gemein haben und es giebt somit nur noch eine Art von Ebenenbüscheln innerhalb des Bündels, nämlich das Büschel aller durch einen Bündelstrahl gehenden Ebenen.

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In den Bündeln zweiter und dritter Art liegt die Sache anders. Um uns über die hier vorkommenden Möglichkeiten zu orientieren, bemerken wir vorläufig, dass zwei Ebenen E, und En, die auf einer dritten E senkrecht stehen, sich schneiden oder nicht jenachdem ihre Spurlinien a, und a, auf E sich schneiden oder nicht.

Der positive Teil des Satzes ist unmittelbar einleuchtend, denn der Schnittpunkt von a, und az ist ebenfalls Schnittpunkt von E, und En. Dabei ist die vom Schnittpunkt auf E gezogene Senkrechte die Schnittlinie von E, und E2.

Wenn aber a, und an sich nicht schneiden, kann kein Schnittpunkt zwischen E, und E, vorkommen. Es müsste nämlich die von dem Schnittpunkt auf E gozogene Senkrechte sowohl E, wie E, angehören und somit ihre Schnittlinie sein. Daraus würde dann folgen, dass a, und adurch den Fusspunkt der Senkrechten auf E gehen würden und sich somit schneiden müssten.

Liegt nun ein Bündel dritter Art vor, so stehen sämtliche seine Diametralebenen senk. recht auf der Polarebene. Zwei solche Ebenen schneiden sich also oder nicht, jenachdem ihre Spurlinien auf der Polarebene sich schneiden oder nicht. Fassen wir in diesem Fall als Ebenenbüschel alle diejenigen Ebenen zusammen, die aus der Polarebene ein ebenes Strahlenbüschel ausschneiden, so bekommen wir, da es drei Arten solcher Strahlenbüschel giebt, ebenfalls drei Arten von Ebenenbüscheln.

Durch jeden Strahl des Bündels gehen unendlich viele Ebenen, die eine vorgelegte den Strahl nicht enthaltende Ebene des Bündels schneiden, und unendlich viele Ebenen, die diese Ebene nicht schneiden. Die beiden Arten von Ebenen werden von einander durch zwei Ebenen der letzteren Art getrennt, deren Spurlinien in der Polarebene die beiden durch den Spurpunkt des Strahls zu der Spurlinie der vorgelegten Ebene gezogenen Parallelen ausmachen.

Bei dem Bündel zweiter Art geht aus dem obigen Satz unmittelbar hervor, dass zwei Diametralebenen, die auf einer dritten senkrecht stehen, sich nicht schneiden. Wir können aber auch umgekehrt zeigen, dass zwei Diametralebenen, die sich nicht schneiden, auf derselben dritten Diametralebene senkrecht stehen.

Es seien E, und E, die beiden Ebenen. Weiter sei a, ein beliebiger dem Bündel angehöriger Strahl in E, a, seine Projektion auf En. Wir behaupten, dass die von a, und abestimmte Diametralebene E, die ja auf E, senkrecht steht, ebenfalls auf E, ortogonal ist.

Wir betrachten deshalb eine Gerade p, die durch einen beliebigen Punkt P, auf a, gegen E, senkrecht gezogen ist und also an in einem Punkt P, schneidet. Wir projizieren p auf E, und bezeichnen die Projektion mit Pi Weiter projizieren wir Pı auf E, und nennen die Projektion P2. Es geht dann natürlich P, durch P, und Pz durch P2.

Wenn nun E, nicht auf E senkrecht steht, so fällt Pı nicht mit a, zusammen. Folglich ist der Neigungswinkel (P, Ps) von gegen E, kleiner als der Winkel (p, a.). Der Winkel (p, a) ist aber der zum Abstand P, P, gehörende Parallelwinkel II (PP). Also ist

1

2

(PP.)< 1 (P, P2).

Betrachten wir nunmehr die in derselben Ebene liegenden Geraden P, Pi und P2, so be. merken wir, dass P2 in Pz gegen p senkrecht steht, während P1 in P, mit p einen Winkel (PP.) einschliesst, der kleiner ist als II (P, P2). Also schneiden sich P1 und Pa. Daraus folgt

1

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aber, dass die Ebenen E, und E, einander schneiden. Das ist aber gegen die Voraussetzung, womit dann bewiesen ist, dass E, senkrecht auf E stehen muss.

Aus dem obigen Beweis folgt, dass jede Diametralebene E, die auf E, oder E, senkrecht ist, ebenfalls die andere Ebene ortogonal schneidet. Steht nämlich E senkrecht auf E, und ist a, ihre Schnittlinie, so steht nach dem Beweis diejenige Ebene, die a, auf E, projiziert, ebenfalls auf E, senkrecht und fällt also mit E zusammen, womit die Behauptung bewiesen ist.

Betrachten wir nunmehr alle Diametralebenen, die eine gegebene Diametralebene E, nicht schneiden, so stehen sie alle senkrecht auf jeder Diametralebene, die auf E, senkrecht

eht. Daraus folgt dann insbesondere, dass zwei derartige Ebenen sich niemals schneiden können.

Wir sagen nunmehr, dass zwei Diametralebenen des Bündels zweiter Art, die sich nicht schneiden, parallel sind. Die obige Überlegung zeigt, dass alle Ebenen, die mit einer gegebenen E, parallel sind, ebenfalls mit einander parallel sind und ein Büschel paralleler Ebenen bilden. Ersichtlich bilden alle auf E, senkrechten Diametralebenen ein zweites Büschel paralleler Ebenen, die senkrecht auf den Ebenen des früheren Büschels stehen.

Wir können nunmehr auch schliessen, dass durch jeden Bündelstrahl im Bündel zweiter Art eine und nur eine Ebene geht, die mit einer vorgegebenen Ebene des Bündels parallel ist. Diese ausgezeichnete Ebene ist einfach diejenige Ebene, die durch den Bündelstrahl senkrecht auf diejenige Ebene gezogen ist, die den Bündelstrahl auf die vorgegebene Ebene projiziert. Alle anderen durch den Bündelstrahl gehenden Ebenen müssen die vorgegebene Ebene schneiden.

Ausser dem Büschel paralleler Ebenen haben wir natürlich auch wie in den anderen Fällen diejenigen Ebenenbüschel zu betrachten, deren Ebenen sämtlich durch denselben Bündelstrahl gehen.

4. Die hiermit abgeschlossene Überlegung zeigt, dass die Bündel erster und zweiter Art des Lobatscheffskij'schen Raums das genaue Analogen zu den beiden Strahlenbündeln des Euklid'schen Raums abgeben, nämlich zu dem Bündel aller durch einen Raumpunkt gehenden Strahlen und dem Bündel aller mit einer gegebenen Geraden parallelen Strahlen. Dem Bündel dritter Art entspricht keine besondere Konfiguration in dem Euklid'schen Raum, indem nämlich das Bündel aller auf einer Ebene senkrecht stehenden Strahlen sich auf das Parallelenbündel reduziert.

Mit dem hiermit entwickelten hängt zusammen, dass für die dreierlei Arten von Bün. deln dreierlei Arten von Geometrieen gelten. Die oben durchgeführten Überlegungen über die Bündel zweiter Art zeigen, dass sie in dieser Hinsicht besonders ausgezeichnet sind, indem nämlich ihren Ebenen und Strahlen genau dieselben Eigenschaften zukommen wie den Ebenen und Strahlen des Parallelenbündels im Euklid'schen Raum. Besonders ist hervorzuheben, dass die Summe der drei Kantenwinkel in einem von drei Diametralebenen gebildeten Dreikant zwei Rechte beträgt.

Es bietet somit das Parallelenbündel oder das Bündel zweiter Art in vieler Hinsicht den natürlichen Eingang dar für die nähere Untersuchung des Lobatscheffskij'schen Raums, wie wir später sehen werden.

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