(45)

29. Wir gehen schliesslich zu der Differentialgleichung (5′′) über. Setzen wir hier

ko cos I (y) = t

Hier sind und x offenbar polare Koordinaten auf derjenigen Grenzkugel, die die Ebene im Zentrum O des Büschels x = const. berührt. Es ist dann eine Bestätigung der in Nr. 17 gefundenen Resultate, dass die Gleichung (46) einfach die bekannte polare Differentialgleichung der zykloidalen Kurven ist.

Der Vollständigkeit halber führen wir auch hier die Integration aus und erhalten folgende explizite Gleichung der Kurve (T), wo x。 die Integrationskonstante bedeutet:

Aus dieser können wir wieder alle in Nr. 17 gefundenen Resultate bestätigen. Insbesondere sehen wir, dass die Kurve aus endlich oder unendlich vielen Zweigen besteht, die durch DreIT um O herum aus einander hervorgehen. Da x = x eine Spitzentangente ist, können wir uns auf den von dieser Spitze auslaufenden Zweig einschränken und bemerken dann, dass dieser Zweig aus zwei in Bezug auf die Gerade xx, symme

hungen mit der Amplitude (2-1)

土 (1)

trischen Ästen besteht. Falls x von zu den Werten (

wächst y von p nach der Unendlichkeit.

30. Wir schreiben nunmehr die Gleichung (47) in die Form

sich verändert, so

Es haben hier wieder x, und x, eine einfache Bedeutung. In diesem Fall steht nämlich wieder die Tangente in dem Kurvenpunkt P auf einer Geraden x = const. senkrecht. Wird der Fusspunkt mit B bezeichnet, so ist PB konstant gleich p (vgl. Nr. 15). Setzen wir nun OB = a und den Winkel POB = x', so wird behauptet, dass die Gleichungen

ko
cos II (p)

Bei dem Beweis benützen wir das rechtwinklige Dreieck OBP und erhalten hieraus cot II (a) oder, falls wir k= cos II (p)

cot x' =

eintragen,

Mit Hilfe der Gleichungen (50) nimmt nun die Gleichung (48) die Form an

-x' gesetzt ist. Offenbar ist dann | X der Winkel, den die Ge

Ausgangsstrahl bei der Koordinatenbestimmung, was darauf hinauskommt, dass wir die Inte

diejenige Gerade x const. dar, die auf der Tangente senkrecht steht.

x=

Aus diesen Überlegungen folgt nun wieder die Enveloppeneigenschaft in dem vorliegenden Fall. Ziehen wir nämlich diejenigen Geraden = const., die mit der Tangente parallel sind, so bilden diese mit der genannten Geraden = X den Winkel II (a). Nach (52) haben dann diese Geraden die Gleichungen

(53)

x=

Hieraus folgt genau wie in den übrigen Fällen die Enveloppeneigenschaft. Weil k> ko ist, so bewegen sich die beiden Geraden in derselben Richtung.

31. Hiermit ist die Untersuchung der Tractrix zu Ende geführt. Abschliessend wollen wir nur noch hervorheben, dass für k∞ oder also in dem Euklid'schen Raum die Kurve (T), die gewöhnliche Tractrix ist. Durch einfachen Grenzübergang finden wir dann aus der Formel kk, cos II (r), dass k=r ist. Die Kurve (T()), ist eine mit der x-Achse parallele Gerade. Für die übrigen Kurven können wir sagen, dass (T)), eine Gerade und (T), ein Kreis ist.

=

2

Die Pseudosphäre im Raum R,

ko

32. Indem wir nunmehr auf die Kurve T die zugehörige Drehung des Doppelbüschels ausüben, entsteht eine Rotationsfläche P, die wir Pseudosphäre nennen. Den drei Fällen entsprechend, entstehen drei Arten von Pseudosphären, die wir mit (P), (P), und (P), bezeichnen. Über die Gestalt dieser Flächen können wir dann unmittelbar aus den Entwickelungen über die Tractricen bestimmte Schlüsse ziehen.

3

Was zuerst die Fläche (P), betrifft, so besteht sie ersichtlich aus zwei Mänteln, die in Bezug auf eine Bahnebene der vorliegenden Drehung erster Art symmetrisch liegen und die sich der Achse des Doppelbüschels nach beiden Richtungen unbegrenzt nähern. Für k< k。 vereinigen sich die beiden Mäntel längs einer Rückkehrkante in der Symmetrieebene. Diese Rückkehrkante ist ein Kreis, dessen Radius die in dem Vorigen oft vorkommende durch die Gleichung (7) festgelegte Grösser ist. Für kk, sind die Mäntel asymptotische Kegelflächen, die sich der Symmetrieebene asymptotisch nähern (Vgl. Nr. 10). Für k>k, nähern sich die Mantelflächen denjenigen beiden aequidistanten Flächen asymptotisch, die in dem Abstand q von der Symmetrieebene liegen, wo q durch die Gleichung (28) mit k zusammenhängt. Die Fläche (P) ist aus zwei aequidistanten Flächen zu einer Bahnebene der Drehung zweiter Art zusammengesetzt, die symmetrisch zu dieser Ebene in dem Abstand q liegen, wo q durch die Gleichung (10) mit k zusammenhängt. Insbesondere ist für kk, die Fläche (P) selbst eine Balinebene (Vgl. Nr. 10).

Die Fläche (P) schliesslich besteht ebenfalls aus zwei in Bezug auf eine Bahnebene der zugehörigen Drehung dritter Art symmetrischen Mänteln, die sich längs einer Rückkehrkante in der Symmetrieebene vereinigen. Diese Rückkehrkante ist eine aequidistante Kurve, die im Abstand p von der Achse des Doppelbüschels läuft, wo p die oben oft vorkommende durch die Gleichung (8) mit k zusammenhörende Grösse ist.

Für k∞ erhalten wir jedesmal, wie schon in Nr. 10 hervorgehoben wurde, diejenigen Flächen, die bei allen zu dem Doppelbüschel gehörenden Schraubungen in sich verschoben werden. Speziell ist (P) eine Grenzkugel. Die Flächen (P), und (P), sind nicht gestaltlich verschieden, sondern gehören beide denjenigen in Nr. 5 näher besprochenen Flächen an, die bei den zu einem eigentlichen Doppelbüschel gehörenden Schraubungen in sich übergehen.

Ist k oder liegt also der Euklid'sche Raum vor, erhalten wir daselbst in (P), die gewöhnliche Pseudosphäre mit dem Parameter k. (P), und (P), sind Kreiszylinder und (P), eine Ebene.

2

=

(k)

33. Wir führen nunmehr auf der Pseudosphäre P Krummlinige Koordinaten u, v ein, so dass die Kurven u const. und v const. bezw. mit den Meridianen und den Breitenzykeln zusammenfallen. Wir wählen deshalb einen Meridian und einen Breitenzykel zu Ausgangskurven und legen durch den Flächenpunkt einen Meridian. Danach bezeichnen wir mit v den längs diesem Meridian gemessenen Abstand des Flächenpunkts von dem Ausgangsbrei

tenzykel und mit u den Bogen auf diesem Zykel zwischen dem Ausgangsmeridian und dem durch den Flächenpunkt gehenden Meridian. v wird in derjenigen Richtung positiv gerechnet, in der entsprechende Breitenzykelbögen kleiner werden.

Dies festgelegt können wir offenbar aus der Definition der Fläche schliessen, dass das dem Bogenelement du auf dem Ausgangsbreitenzykel entsprechende Bogenelement auf

dem durch den Flächenpunkt (u, v) gehenden Breitenzykel gleich e halten wir dann für das Bogenelement ds auf der Pseudosphäre P

34. Die hiermit entwickelte Formel (54) gestattet wichtige Schlüsse über die Fläche zu ziehen. Indem wir auch ko als Parameter auffassen und somit Flächen in verschiedenen Räumen in Betracht ziehen, können wir offenbar sogleich schliessen, dass alle Flächen P) mit demselben k auf einander abwickelbar sind. Bei dieser Abwickelung, die so stattfindet, dass Flächenpunkte mit denselben Koordinaten (u, v) auf den verschiedenen Flächen einander zugewiesen werden, gehen ersichtlich die Meridiane und Breitenzykeln wieder in Meridiane und Breitenzykeln über.

ko

ko

Unter den Flächen P*) mit demselben k kommt nun jedesmal auch die Ebene (P), im Raum R, vor. Infolgedessen können wir schliessen, dass die Fläche P im Raum R, auf die Ebene im Raum R, abwickelbar ist. Bei dieser Abwickelung gehen die Meridiane in ein Büschel paralleler Geraden über, während die Breitenzykeln auf das zugehörige Ortogonalbüschel von Grenzkreisen abgebildet werden. Die geodätischen Linien auf der Fläche gehen in Geraden in der Ebene über. Infolgedessen können wir fölgenden Satz aussprechen:

ko

Die Trigonometrie der geodätischen Dreiecke auf der Pseudosphäre P) im Raum R, ist mit der ebenen Trigonometrie im Raum R, identisch.

Hiermit haben wir die in Nr. 3 angegebene Aufgabe vollständig erledigt.

Für die aequidistante Fläche (P), enthält dieser Satz die früher schon wohlbekannte Tatsache, dass die Trigonometrie ihrer geodätischen Dreiecke mit der ebenen Trigonometrie des Raums R zusammenfällt, wo k mit dem Abstand g der Fläche von ihrer Polarebene durch die Gleichung (10) zusammenhängt.

=

k

Für k∞ erhalten wir aus dem obigen Satz insbesondere das einfache Ergebniss, dass auf denjenigen Flächen, die bei allen zu einem Doppelbüschel gehörenden Schraubungen in sich verschoben werden, die Geometrie der geodätischen Linien euklidisch ist. Wir sind somit durch unsere Untersuchungen zu zwei Typen von Rotationsflächen gekommen, auf denen die Geometrie euklidisch ist; es sind diese die in Nr. 5 näher betrachteten Flächen.

ko

Für k, d. h. in dem Euklid'schen Raum kommen wir auf die bekannte Eigenschaft der gewöhnlichen Pseudosphäre zurück. Ist dabei noch k=∞, erhalten wir als Grenzfälle für die in Nr. 5 betrachteten Flächen die Euklid'sche Ebene und den Euklid'schen Kreiszylinder, deren geodätische Dreiecke ja die ebene Euklid'sche Trigonometrie aufweisen.

35.

Abschliessend wollen wir noch eine bemerkenswerte Tatsache hervorheben. Die Flächen mit demselben ko und demselben k sind ersichtlich auf einander biegbar, weil sie nämlich in demselben Raum liegen und auf einander abwickelbar sind. Für k<k, hat diese Bemerkung keine Bedeutung, denn es giebt in diesem Fall nur noch die eine Fläche (P). Aber schon für k=k, giebt es zwei Flächen, nämlich den asymptotischen Kegel (P), und die Ebene (P), die selbstverständlich auf einander biegbar sind. Für k>k。 schliesslich haben wir drei verschiedene Flächen P mit demselben k, und demselben k, nämlich (P*)), (P), und (P). Von diesen ist (P), eine aequidistante Fläche und wir können somit schliessen, dass die Flächen (P), und (P), durch Biegung aus der aequidistanten Fläche (P), entstehen.

Für k∞ folgt dann hieraus, dass die in Nr. 5 betrachteten beiden Flächenarten Biegungsflächen von einander sind. Dies besagt, dass diejenigen Flächen, die bei allen zu einem eigentlichen Doppelbüschel gehörenden Schraubungen in sich verschoben werden, durch Biegung aus der Grenzkugel entstehen. Dies entspricht der Tatsache, dass im Euklid'schen Raum der Krezyliisnder durch Biegung aus der Ebene entsteht, was ja auch hier zum Vorschein kommt, falls wir noch k∞o setzen. Die Biegung findet auch in entsprechender Weise statt, indem nämlich ein Parallelstreifen zwischen zwei parallelen Grenzkreisen auf der Grenzkugel zusammengebogen wird.

=