C'est la valeur cherchée du coefficient de a' dans le développement du polynome, lorsque sa puissance s est très-élevée. Cherchons maintenant la somme de tous ces coefficiens, depuis celui de a- 'inclusivement, jusqu'à celui de a' inclusivement, létant un grand nombre, mais d'un ordre inférieur à s. Pour cela, nous observerons que l'on a par le n° 10, dy () + + etc. dy + etc. dl Σ.y1=fy1.dl—}•y++ etc.+constante. En prenant l'intégrale depuis le terme correspondant à 7 nul inclusivement, on aura la somme des valeurs de y depuis cette origine jusqu'au terme y exclusivement. La constante arbitraire sera égale alors à¦.y..etc.; ainsi la somme des valeurs y, depuis nul inclusivement jusqu'à y, inclusivement, sera de alors les différences de y, seront successivement d'un ordre inférieur les unes aux autres; en ne considérant donc que les trois premiers termes de la série précédente, on aura fy.dl.y.+.y1 pour la somme des coefficiens des termes du développement de la puissances du polynome, depuis nul inclusivement jusqu'à 7 inclusivement. En doublant cette somme, et en retranchant de ce double, le terme y., on aura pour la somme des coefficiens, depuis celui du terme correspondant à a' inclusivement, jusqu'à celui du terme correspondant à a' inclusivement, 37. Nous avons supposé dans les exemples précédens, que les équations aux différences en y,, n'avaient point de dernier terme ; donnons un exemple d'une équation jouissant d'un dernier terme, et pour cela, considérons l'équation aux différences p'x'..(1+x) —ƒ'x'. [(x+1). do + (i+1).qdx]; ce qui donne d'abord pour déterminer , l'équation (1+x).do +(i + 1). dx = 0; l'intégrale étant prise depuis xo jusqu'à x =p. En ajoutant à l'intégrale étant prise depuis x nul jusqu'à x infini, et B étant une arbitraire; on aura pour l'intégrale complète de la proposée x-1.dx y=B. f(1+2)+(1+p)'⋅f (1+x)+1 › expression que l'on peut mettre sous cette forme x-1.dx y1 = B' . f ====(1+p)' •f(1+)+ la première intégrale étant prise depuis x nul jusqu'à x infini, et la seconde étant prise depuis x=p jusqu'à x infini. Maintenant, l'intégrale de la proposée est p's,y,+ (si) · Y1+1 1.2.3....(-1) Y;— i.(i—1). (i—2) .......... (i—s+1) Q— §. i.(i—1). (i-—-3)...(i—s+1),p'), Q étant une arbitraire, et Σ étant la caractéristique des différences finies; ensorte que la fonction Σ. égale à i. (i—1). (i—2). .....(i—s+1) 1.2.3.. p' est 1 + ip+ i.(i. i.(i—1) ̧p2.... 1.2 c'est-à-dire, à la somme des s premiers termes du binome (1+p)'. Si l'on compare cette expression de y, à la précédente, on aura Si l'on fait s 1 dans cette équation, et si l'on observe que le produit 1.2.3....(s—1) se réduit alors à l'unité, comme on l'a vu dans le n° 34; on trouve après les intégrations B'Q: ainsi B' étant une arbitraire, cette équation se partage dans les deux suivantes, 1.2.3....(-1) x-1.dx 1.2.3.....(S-1) dx Σ i. (i—1)... (i—S+1) 1.2.3...S . l'intégrale du numérateur étant prise depuis x=p jusqu'à x infini ; et celle du dénominateur étant prise depuis x nul jusqu'à x infini. Lorsque s et i sont de grands nombres, il sera facile de réduire ces deux intégrales en séries convergentes, par les formules des nos 22 et 23. On aura ainsi la somme de s premiers termes du binome élevé à une grande puissance, par une approximation d'autant plus rapide, que cette puissance sera plus haute. Si l'on effectue les intégrations, l'équation précédente devient Le second membre de cette équation est une transformation de la somme partielle des termes du binome (1+p), transformation qui peut être utile. De l'approximation des différences infiniment petites et finies, très-élevées, des fonctions. 38. Considérons une fonction quelconque de z, que nous représenterons par (z). En y changeant z en zt, désignons par le coefficient de t dans le développement de cette fonction; ys t étant supposé nul après les différentiations; et comme on a Ainsi la recherche de la différence sieme de (z), se réduit à développer la fonction (z+1) en série. Supposons que cette fonction de t soit une puissance d'un polynome de t, que nous représenterons par y.+y..t+y..t....+y,.t'+etc., son développement en série; on aura, en prenant les différences logarithmiques, μ.(b+2ct + etc.) y.+ 2y2.t....+sy,.+ etc. = a+bt+ct etc. yo+y1t+ya.t.....+y..t' + etc.' Multipliant en croix, et comparant les termes multipliés par -, on aura a.s.y,+b.(s—1). y,-, +c. ( s − 2).y1+etc. Représentons par fx-4.dx, l'expression de y,; cette équation devient En égalant séparément à zéro, la partie de cette équation, affectée du signe intégral, on a o=dp. (a + +-+etc.)+updx. (2/3+2+etc.); ce qui donne en intégrant, • = 4. (a + b + + etc.)", A étant une constante arbitraire. La partie de l'équation précédente, hors du signe intégral, donnera ensuite pour déterminer les limites de l'intégrale, |