ces limites sont donc xo, et x égal aux diverses racines de l'équation 0 =a+/ + + etc. On aura donc par les méthodes précédentes, et par une approximation très-prompte, les coefficiens des puissances très-élevées de t, dans le développement en série de la puissance (a+bt+ct+ etc.)", et par conséquent on aura les différentielles très-élevées de la puissance (a'+b'z+c'z'+etc.)", qui se change dans la précédente, en changeant z dans z+t, et faisant Pour avoir l'expression du second membre de cette équation, nous observerons que l'on a, par ce qu'on vient de voir, étant le coefficient de t' dans le développement de [1—(z+1)*] ̄ ̄ On aura ensuite y‚ = A.ƒœ¬1.dx. [1 − (z+;)']'; les limites de l'intégrale étant données par l'équation Ces limites sont 1 1 X= x=0, x= 1 Comme x a trois valeurs, l'expression de y, prend cette forme, par le n° 29, y=4.fx'=',dx.[1—(x+;')'] ̄ ̄'+1' £x'=',dx.[1—(++!')']' A et A' étant des constantes arbitraires, et la première intégrale étant prise depuis x- jusqu'à x=0, et la seconde étant prise depuis xo jusqu'à 1 l'angle dont le cosinus estz, et la seconde étant prise depuis ce dernier angle jusqu'à 7. Pour déterminer les arbitraires B et B', on observera que l'intégrale étant prise depuis @o jusqu'à @=7. En prenant cette intégrale, et observant que [dw.cos".@=1_.[d@ . (c®V=1 + c~•V=ijar cette expression est fort composée, lorsque s est un grand nombre; mais alors on peut obtenir sa valeur d'une manière fort approchée, en appliquant à l'expression de y, sous forme d'intégrale définie, les méthodes exposées ci-dessus. La fonction sous le signe intégral ayant deux maxima, l'un à l'origine de l'intégrale, et l'autre à son extrémité, nous la décomposerons dans les deux suivantes, · [Sdw. ( z+cos @)'+(—1}'.fdw.(cosw—z)']; la première intégrale étant prise depuis nul jusqu'à ☎ égal à l'angle dont le cosinus est —z, et la seconde intégrale étant prise depuis nul jusqu'à égal à l'angle dont z est le cosinus. Soit ==a, =a, et faisons (z+cos @)'=(1+z)'.c—"; on aura en prenant les logarithmes et réduisant cos en série, on aura ainsi, en observant que l'intégrale doit être prise depuis t nul jusqu'à t infini, z, on aura 27 fdæ. (cos ☎—z)' — • (1 − x) + 3 . ( 1 — a . (2 + 2) +etc.); a. dans le cas de s très-grand, cette expression se réduit à fort peu près à ce terme très-simple, Si l'on multiplie l'expression (6) de y, par le produit 1.2.3...s, produit qui par le n° 33, est égal à s+.c~'. Va. (1 + + etc.); S on aura à très-peu près 12 39. Lorsqu'une fonction y, de s peut être exprimée par une intégrale définie de la forme fx.dx, les différences infiniment petites et finies d'un ordre quelconque n, seront par le n° 21, Si au lieu d'exprimer la fonction de s, par l'intégrale fx.pdx, on l'exprime par l'intégrale fc-.odx, alors on a d".y: = (— 1)".ƒx". qdx.c=”, A".y, fodx.c1. (c—*— 1)". Pour avoir les intégrales nimes, soit finies, soit infiniment petites, il suffira de faire n négatif dans ces expressions. On peut observer qu'elles sont généralement vraies, quel que soit n, en le supposant même fractionnaire ; ce qui donne le moyen d'avoir les différences et les intégrales correspondantes à des indices fractionnaires. Toute la difficulté se réduit à mettre sous la forme d'intégrales définies, une fonction de s; ce que l'on peut faire par les nos 29 et 30, lorsque cette fonction est donnée par une équation linéaire aux différences infiniment petites ou finies. Comme on est principalement conduit dans l'analyse des hasards, à des expressions qui ne sont que les différences finies des fonctions, ou une partie de ces différences; nous allons y appliquer les méthodes précédentes, et déterminer leurs valeurs en séries convergentes. 40. Considérons d'abord la fonction. En la désignant par y., elle sera déterminée par l'équation aux différences infiniment petites d'où l'on tire en intégrant par parties, conformément à la méthode du n° 29, les deux équations A étant une arbitraire. La seconde équation donne pour les limites de l'intégrale fc-. qdx, x=o et x∞. On aura donc dans ces limites, |