Si les adresses p et q sont égales, cette expression devient Lorsque a+2i est un grand nombre, on peut en conclure d'une manière fort approchée, le nombre de coups nécessaire pour que la probabilité que la partie finira dans ce nombre de coups, soit égale à une fraction donnée. On aura alors a+2i étant supposé un très-grand nombre fort supérieur au nombre il suffit de considérer le terme du premier membre qui correspond à s nul, et alors on a ces logarithmes pouvant être à volonté hyperboliques ou tabulaires. Si dans les formules précédentes, on suppose a infini, b restant un nombre fini; on aura le cas dans lequel le joueur joue contre le joueur B qui a primitivement le nombre 6 de jetons, jusqu'à ce qu'il ait gagné tous les jetons de B, sans que jamais celui-ci puisse gagner 4, quel que soit le nombre des jetons qu'il lui gagne. Dans ce cas, la fonction génératrice (o) de y.,., se réduit à car alors (1-V1-4pq.t') et (1 — V1—4pq.t3)+ développés, ne renferment que des puissances infinies de t', puissances que l'on doit négliger, quand on ne considère qu'un nombre fini p3.{1+b.pq+ b.(b+3) 1.2 b.(b+i+1).(b+i+2)....(b+22—1).} c'est la valeur de Ya,b+, ou la probabilité que A gagnera la partie avant ou au coup b+2i. Cette valeur serait très-pénible à réduire en nombres, si b et 2i étaient de grands nombres; il serait surtout très-difficile d'obtenir par son moyen, le nombre de coups dans lesquels A peut parier un contre un de gagner la partie; mais on peut y parvenir facilement de cette manière. Reprenons la formule (H) trouvée ci-dessus. Dans le cas de a infini, et p étant supposé égal ou plus grand que q, si l'on y sup(r+1),x=9, et == do, elle devient pose a Ye,b+ai = 1 a l'intégrale devant être prise depuis = o jusqu'à 7. Dans le cas de p moindre que q, la même expression a lieu, pourvu que l'on change le premier terme 1, dans Si pq, cette expression devient 器 do.sin bo. (cos )b+si+ sin l'intégrale étant prise depuis nul jusqu'à =π. Supposons maintenant que bet i soient de grands nombres. Le maximum de la fonction @. (COS)b+si+s sin répond à =0; ce qui donne 1 pour ce maximum. La fonction décroît ensuite avec une extrême rapidité, et dans l'intervalle où elle a une valeur sensible, on peut supposer log sin log+log (1 — 1) = log — }.", 1 log (cos )+i+=(b+2i+1).log(1 — 2.02+4.04) (b+2i+1) (b+2i+1).Q4, 2 12 ce qui donne, en négligeant les sixièmes puissances de , et ses quatrièmes puissances qui ne sont pas multipliées par b+2i+1, Cette dernière intégrale peut être prise depuis ≈o jusqu'à • infini; car elle doit être prise depuis o jusqu'à • =÷π; or a1 étant un nombre considérable, c-a'' devient excessivement petit, lorsqu'on y fait, ensorte qu'on peut le supposer nul, vu l'extrême rapidité avec laquelle cette exponentielle diminue, lorsque augmente. Maintenant on a .sin bo.c-a22 = = ƒdq. (1 — — . p1) ⋅ cos bq. c=a*q3 ; on a d'ailleurs par le n° 26 du premier Livre, l'intégrale étant prise depuis t nul jusqu'à t=T, T étant égal b2 Si l'on cherche le nombre des coups dans lesquels on peut parier un contre un que cela aura lieu, on fera cette probabilité égale à, ce qui donne Nommons 7" la valeur de t, qui correspond à et supposons étant de l'ordre. L'intégrale fdt.c" sera augmentée à très Ayant ainsi 7a aux quantités près de l'ordre, l'équation at Pour déterminer la valeur de T', nous observerons qu'ici T" est plus petit que; ainsi l'équation transcendante et intégrale Il y a donc alors du désavantage à parier un contre un, que A gagnera la partie dans 23780 coups, mais il y a de l'avantage à parier qu'il la gagnera dans 23781 coups. 11, Un nombre n+1 de joueurs jouent ensemble aux conditions suivantes. Deux d'entre eux jouent d'abord, et celui qui perd se retire après avoir mis un franc au jeu, pour n'y rentrer qu'après |