La recherche du coefficient de 6' dans le développement de cette fraction, se réduit à déterminer, quel que soit r, le coefficient de é dans le développement de la fraction Pour cela, considérons généralement la fraction, P et Q étant des fonctions rationnelles et entières de 0, la première étant d'un ordre inférieur à la seconde. Supposons que Q ait un facteur —a élevé à la puissance s, ensorte que l'on ait Q = (0—α)'. R, R étant une fonction rationnelle et entière de 6. On P A (0=a); + B R pourra décom A et B étant des poser la fraction en deux autres fonctions rationnelles et entières de 0; la première, de l'ordre s-1, et la seconde, d'un ordre inférieur à R; car il cst visible qu'en substituant pour A et B, des fonctions de cette nature, avec des coefficiens indéterminés; en réduisant ensuite les deux fractions au même dénominateur, qui devient alors égal à Q; en égalant enfin la somme de leurs numérateurs à P; la comparaison des puissances semblables de 0, donnera autant d'équations qu'il y a de coefficiens indéterminés. Cela posé, l'équation = en faisant a dans le premier terme; a' dans le second terme; 0a" dans le troisième terme, et ainsi de suite. = dans une suite ordonnée par rapport aux puissances de z, on aura le coefficient de 6 dans le développement de la fraction est, pourvu qu'après les différentiations, on suppose 0 =ɑ dans le premier terme; a' dans le second terme; 0=a" dans le troisième terme, etc. S'il n'y a qu'un seul facteur 0 -a, la fonction renfermée entre les deux parenthèses, se réduit à, être changé en a après les différentiations, ce qui réduit la tité (o) à (−1);. (r+1). (r+2). (r+3)... · · · (r+s−1) 1.2.3....(-1).a' arts devant quan Si dans l'expression de V, quelques-uns des facteurs -a — a', etc., sont élevés à des puissances plus hautes que l'unité par exemple, si 0-a — a est élevé à la puissance m; il sera élevé à la puissance -ms dans 1 7.; et alors il faut changer le premier terme de 1.2.3... (ms—1), a3° dėms—1° 67+1. (0—a')'. (0—a")'. etc. et dans les autres termes, il faut changer (0-a)', dans (0-α)"'. Représentons généralement par Z-"), la quantité (0); le coefficient de 6o, dans le développement de la fraction z sera (3) 1 z+z.z+z+Z3+ etc.; i-3n on aura donc pour le coefficient de 6 dans le développement de la fraction (4) +z3.Zn++ etc.] +c. [Zn+a+z. Zan+a+z*.Zn+a+z3. Z11n+2 7(2) + •9. [Z++z. Z+1+*.Z++ etc.]. Présentement, si l'on désigne par v.y, la quantité par v'.y, ce que devient v.y, lorsqu'on y change y, dans ▼.y1 j par v3.y, ce que devient v'.y, lorsqu'on y change y.y. dans u.zs v'.yi, et ainsi de suite. Il est visible, par le n° 2, que le coefficient de ť dans le développement de sera v'.y+,; en multipliant donc l'équation précédente par u, et en ne considérant dans chaque terme que le coefficient de t, c'est-à-dire, en repassant des fonctions génératrices aux coefficiens; on aura Yz+1= yz · [b.Z++c.Z@++e. Z +3..+q.Z] Yx i-n+3 Cette formule servira à interpoler les suites dont la dernière raison des termes est celle d'une suite récurrente; car il est clair que dans ce cas, v.Y, V. y, etc. vont toujours en diminuant, et finissent par être nuls dans l'infini, i 6. La formule (B) s'arrête lorsque l'on a v'.yo, r étant un nombre entier positif quelconque; et alors l'expression précédente de y devient l'intégrale de l'équation aux différences finies v'.y; =0; ce qui est analogue à ce qu'on a vu dans le n° 3. Relativement à l'équation A'.y; o, supposons v.yo, ou, ce qui revient au même, = ... si l'on fait nul, dans la formule (B) du n° précédent, elle 27 Yo, Y1,Y....Y- sont les n premières valeurs de y; ce sont les n constantes arbitraires que l'intégrale de l'équation v.y=0 introduit. Ainsi étant égal à a. (0—a). (0—al). (Q—a!). etc.; le premier de ces termes devient dv pourvu que l'on change en a dans ; en n'ayant donc égard En changeant successivement dans le second membre de cette équation, a en a', a", etc., et réciproquement; on aura autant de termes qui ajoutés au précédent, formeront l'expression complète de y 1 Nommons & la fonction qui dans le premier terme, multiplie k ensorte que ce terme soit Si deux racines a et a' sont égales, Q sera de cette forme (-a). Z. On supposera que a et a', au |