L'équation (1) subsiste donc encore dans le cas même de r=1, pourvu que l'on y change y.,. dans y.,. On doit observer que yo,s est la probabilité de gagner la partie au coup x, de chacun des deux premiers joueurs, au moment où le jeu commence; car cette probabilité devient, après le premier coup, y., ou y,, suivant que le joueur gagne ou perd, et la probabilité de chacun de ces événemens est. Maintenant, la fonction génératrice de l'équation (1) est, par le n° 20 du premier Livre, t étant relatif à la variable x, et t' étant relatif à la variable r, ensorte que y1, est le coefficient de t' dans le développement de cette fonction; (t) est une fonction de t qu'il s'agit de dé la fonction génératrice de y,, sera le coefficient de t' dans le développement de la fonction (a); elle sera donc (t).ť. T1; la probabilité que la partie finira précisément au coup x, est évidemment la somme des probabilités de chaque joueur pour la gagner à ce coup; elle est donc I par conséquent la fonction génératrice de cette probabilité est T.q(t).(2+tT+t2 T2 . . . .+t”~› T^~1), En l'égalant à la fonction génératrice de cette probabilité, que nous avons trouvée ci-dessus, et qui est Ainsi la fonction génératrice de l'équation (1) aux différences partielles, est T.(2—1T—1T").(1—1+—-—.1) . ( 1 − x' + - - ·v") ' la fonction génératrice de y,, est donc Le coefficient det dans le développement de cette fonction, est la probabilité du joueur (») de gagner la partie au coup x. On pourra ainsi déterminer cette probabilité par ce développement. La somme de tous ces coefficiens jusqu'à x infini, est la probabilité du joueur (r) de gagner la partie; or on a cette somme, en faisant t=1 dans la fonction précédente, ce qui donne T= p 2" nommons cette dernière quantité, et désignons par y, la probabilité de (r) de gagner la partie, on aura Cette expression s'étend depuis r=o jusqu'à r=n−1, pourva qu'on y change y. dans y.,. exprimant la probabilité de gagner la partie, des deux premiers joueurs au moment où ils entrent au jeu. I T,I' Maintenant, chaque joueur perdant déposant un franc au jeu, déterminons l'avantage des différens joueurs. Il est clair qu'après x coups, il y avait x jetons au jeu; l'avantage du joueur (r) relatif à ces x jetons, est le produit de ces jetons par la probabilité y1, de gagner la partie au coup x; cet avantage est donc x.y12. La valeur de x.y, est le coefficient de t.dt dans la différentielle de la fonction génératrice de y,,; en divisant donc cette différentielle par dt, et en y supposant ensuite 1, on aura la somme de toutes les valeurs de x.y,, jusqu'à x infini; c'est l'avantage du joueur (r). Mais il faut en retrancher les jetons qu'il met au jeu à chaque coup qu'il perd; or y,, étant sa probabilité de gagner la partie au coup x, 2".,-+1 sera sa probabilité d'entrer au jều; au coup xn+1, puisque cette dernière probabilité, multipliée par la probabilité, qu'il gagnera ce coup, et les n—1 coups suivans est sa probabilité de gagner la partie au coup x. En supposant donc qu'il perde autant de fois qu'il entre au jeu, la somme de toutes les valeurs de 2".J, jusqu'à x infini, serait le désavantage du joueur (r); et comme la somme de toutes les valeurs de Y1,-+1 est égale à la somme de toutes les valeurs de y,,, ou à y., on aurait 2".y,, ou pour le désavantage du joueur (r). Mais il ne perd pas chaque fois qu'il entre au jeu, parce qu'il peut entrer au jeu et gagner la partie; il faut donc ôter de 2".y,, la somme de toutes les valeurs de y, ou y,, et alors le désavantage 2". (1-p).pr de (r) est (2”—1). (1—p).p′, Pour avoir l'avantage entier de (r), il 2-p-pr faut retrancher cette dernière quantité, de la somme des valeurs de x.y,,; en désignant donc par S cette somme, l'avantage du joueur (r) sera (2′′ — 1). (1 — p.).p' 2 — p — pr S étant, comme on l'a vu, la différentielle de la fonction généra trice de y,,i divisée par dt, et dans laquelle on suppose ensuite 1. Dans cette supposition, on a Désignons par Y, l'avantage de (r), on trouvera Y, (np+1-n) •p'. {(1~p).r+ p*+'+n.(1—p).p”—p 2-p-p" 2-p-p" Cette équation servira depuis r=o jusqu'à r=n—1, pourvu que l'on y change F. dans Y., Y. étant l'avantage des deux premiers joueurs, au moment où ils entrent au jeu. Si au commencement de la partie, chacun des joueurs dépose au jeu une somme a; l'avantage du joueur (r) en sera augmenté de (n+1).a, multiplié par la probabilité y,, que ce joueur gagnera la partie; mais il faut en ôter la mise a de ce joueur ; il faut donc, pour avoir alors son avantage, augmenter l'expression précédente de Y,, de la quantité " Lorsque l'avantage de (r) devient négatif, il se change en désavantage. 12. Soit q la probabilité d'un événement simple, à chaque coup; on demande la probabilité de l'amener i fois de suite, dans le nombre x de coups. Nommons z, la probabilité que cet événement composé aura lieu précisément au coup x. Pour cela, il est nécessaire que l'événement simple n'arrive point au coup x-i, et qu'il arrive dans les i coups suivans, l'événement composé n'étant point arrivé précédemment. Soit alors P la probabilité que l'événement simple n'arrivera point au coup x-i-1. La probabilité correspondante qu'il n'arrivera point au coup x-i, sera (1 − q). P; et la probabilité correspondante que l'événement composé aura lieu précisément au coup x, sera (1q).P.q'. Ce sera la partie de z, cor respondante à ce cas. Mais la probabilité que l'événement composé arrivera au coup x1, est évidemment P.q; on a donc P=; ainsi la valeur partielle de z, relative à ce cas, est (1-q). Z-1. Considérons maintenant les cas où l'événement simple arrivera au coup x-i-1. Nommons P' la probabilité qu'il n'arrivera pas au coup i-2; la probabilité qu'il arrivera dans ce cas au coup x-i-1, sera q.P' et la probabilité qu'il n'arrivera pas au coup x-i, sera (1-q).q.P'; la valeur partielle de z, relative à ce cas, sera donc (1-q).q.P'.q'. Mais la probabilité que l'événement composé arrivera précisément au coup x-2, est P'.q'; c'est la valeur de z; ce qui donne (1-9).q.z, est donc la valeur partielle de zi, relative au cas où l'événement simple arrivera au coup x-i-1, sans arriver au coup x-i — 2. On trouvera de la même manière que (1-9).q.z;-, est la valeur partielle de z, relative au cas où l'événement simple arrivera aux coups x-i-1 et x—i—2, sans arriver au coup x—i—3; et ainsi de suite. En réunissant toutes ces valeurs partielles de z,, on aura Z; = (1 − q). (Z2−1 +9. 2x-3+9* • Zz−3· · · + q11· Zz−i). |