i.π

rante-sept sont rétrogrades. La somme des inclinaisons des orbites des premières, est de 2657°,993, et celle des inclinaisons des autres orbites, est de 2515°,684; l'inclinaison moyenne de toutes ces orbites est donc de 51°,73677; par conséquent la somme de toutes les inclinaisons est+i.1°,73677, i étant ici égal à 100. On voit déjà que l'inclinaison moyenne surpassant le demi-angle droit, les comètes, loin de participer à la tendance des corps du système planétaire, pour se mouvoir dans des plans peu inclinés à l'écliptique, paraissent avoir une tendance contraire. Mais la probabilité de cette tendancé est très-petite. En effet, si l'on suppose dans la formule (0),

elle devient

i.#

6=i.1°,73677,

π étant 200°. C'est l'expression de la probabilité que la somme des inclinaisons des orbites dès i comètes, doit être comprise dans les limites i. 1°,73677. Le nombre des termes de cette formule, et la précision avec laquelle il faudrait avoir chacun d'eux, en rend le calcul impraticable; il faut donc recourir aux méthodes d'approximation développées dans la seconde partie du premier Livre. On a par le n° 42 du même Livre,

les puissances des quantités négatives étant ici exclues, comme

elles le sont dans la formule précédente; en faisant donc

l'intégrale étant prise depuis r nul. On trouve ainsi 0,474 pour la probabilité que l'inclinaison des 100 orbites doit tomber dans les limites 50±1°,17377; la probabilité que l'inclinaison moyenne doit être inférieure à l'inclinaison observée, est donc 0,757. Cette probabilité n'est pas assez grande pour que le résultat observé fasse rejeter l'hypothèse d'une égale facilité des inclinaisons des orbites, et pour indiquer l'existence d'une cause primitive qui a influé sur ces inclinaisons, cause que l'on ne peut s'empêcher d'admettre dans les inclinaisons des orbes du système planétaire.

La même chose a lieu par rapport au sens du mouvement. La probabilité que sur 100 comètes, quarante - sept au plus seront rétrogrades, est la somme des 48 premiers termes du binome (p+q), en faisant dans le résultat du calcul p=q=;. Mais la somme des 50 premiers termes, plus la moitié du 51ie ou du terme moyen, est la moitié du binome entier, ou de (+), c'est-à-dire÷; la probabilité cherchée est donc

-S

1.2.3...ss ・(1 + 2 + etc.). V

27

Cette probabilité est beaucoup trop grande pour indiquer une cause qui ait favorisé, dans l'origine, les mouvemens directs. Ainsi la cause qui a déterminé le sens des mouvemens de révolution et de rotation des planètes et des satellites, ne paraît pas avoir influé sur le mouvement des comètes.

14. La méthode du numéro précédent a l'avantage de s'étendre au cas où le nombre des boules de l'urne, qui portent le même numéro, n'est pas égal à l'unité, mais varie suivant une loi quelconque. Concevons, par exemple, qu'il n'y ait qu'une boule portant le n° o, qu'une boule portant le n° 1, et ainsi de suite jusqu'au n°r inclusivement. Supposons de plus qu'il y ait deux boules portant le n°r+1, deux boules portant le n° r+2, et ainsi de suite jusqu'au n° n inclusivement. Le nombre total des boules de l'urne' sera 2n+1, la probabilité d'en extraire un des numéros inférieurs à +1, sera donc ; et la probabilité d'en extraire

1

le n°7+1 ou l'un des numéros supérieurs, sera

présenterons par +1; mais nous ferons /= 1 dans le résultat du calcul. Quoiqu'il n'y ait point de numéros au-delà du n° n, nous pouvons cependant considérer dans l'urne des numéros supérieurs à n, jusqu'à l'infini, pourvu que nous donnions à leur extraction, une probabilité nulle; nous pourrons donc représenter cette probabilité par en faisant 1 dans le ré" 2nr+1 sultat du calcul. Par cet artifice, nous pourrons représenter généralement la probabilité d'un numéro quelconque, par l'expression précédente; pourvu que nous ne fassions commencer + que lors. qu'un des numéros commencera à surpasser r, et que nous ne fassions commencer + que lorsqu'un des numéros commencera à surpasser n. Cela posé, on trouvera, en appliquant ici les raisonnemens du numéro précédent, que la probabilité d'amener le nombre

་

s dans i tirages, est égale à

(s+i—1). (s+i—2). (s+i−3) ..... (s+1)

1.2.3....(i-1). (2n—r+1)*

(s+1). (1+z+'—27′′+1)',

pourvu que dans le développement de cette fonction, suivant les puissances de l, on diminue dans chaque terme, s de l'exposant de la puissance 1, qu'on suppose ensuite 1, et qu'on arrête la séric lorsque l'on parvient à des facteurs négatifs.

15. Appliquons maintenant cette méthode à la recherche du résultat moyen que doit donner un nombre quelconque d'observations dont les lois de facilité des erreurs sont connues. Pour cela, nous allons résoudre le problème suivant.

Soient i quantités variables et positives t, t、, t,,...t.—, dont la somme soit s, et dont la loi de possibilité soit connue ; on propose de trouver la somme des produits de chaque valeur que peut recevoir une fonction donnée (t, t,, t,, etc.) de ces variables, multipliée par la probabilité correspondante à cette valeur.

1

Supposons pour plus de généralité, que les fonctions qui expriment les possibilités des variables t, t,, etc. soient discontinues, et représentons par (t) la possibilité de t, depuis to jusqu'à t=q; par o' (t)+(t), sa possibilité depuis q jusqu'à t=q'; par p" (t)+Q'(t) +Q(t), sa possibilité depuis t=q' jusqu'à t=q′′, et ainsi de suite jusqu'à l'infini. Désignons ensuite les mêmes quantités relatives aux variables t,, t,, etc. par les mêmes lettres, en écrivant respectivement au bas, les nombres 1, 2, 3, etc.; ensorte que q1, q, etc.; .(t), (t,), etc. correspondent, relativement à t1, à ce que q, q', etc.; (t), ' (t), etc. sont respectivement à t, et ainsi de suite. Dans cette manière de représenter les possibilités des variables, il est clair que la fonction (†) a lieu depuis t➡o jusqu'à t infini; que la fonction ' (t) a lieu depuis t=q jusqu'à ₺ infini, et ainsi de suite. Pour reconnaître les valeurs de t, t,, t,, etc. lorsque ces diverses fonctions commencent à avoir lieu, nous multiplierons conformément à la méthode exposée dans les numéros précédens, (t) par lou l'unité, q' (t) par l, p"(t) par ", etc.; nous multiplierons pareillement ø, (t,) par Punité, è̟, (t;) par 19, et ainsi de suite : les exposans des puissances de l indiqueront alors

1

ces valeurs. Il suffira ensuite de faire 71 dans le dernier résultat du calcul. Au moyen de ces artifices très-simples, on peut facilement résoudre le problème proposé.

La probabilité de la fonction (t, t,, t,, etc.) est évidemment égale au produit des probabilités de t, t1, t,, etc., ensorte que si l'on substitue pour t sa valeur st,t, etc. que donne l'équation t +t,+t2....+t;-, =s,

le produit de la fonction proposée par sa probabilité, sera

↓ (st, -t-etc., t,, t1, etc.)

×[9(s—t,—1,—etc.)+1a.q'(s—t,—t,—etc.)+l".q"(s—t,—t,—etc.)÷etc.]

̈×[®, (¿,)+1a1. Ø ́ (t,)+1a' .9" (¿‚,)+etc.];

1

X etc.

(A)

on aura donc la somme de tous ces produits, 1°. en multipliant la quantité précédente par dt,, et en l'intégrant pour toutes les valeurs dont t, est susceptible; 2° en multipliant cette intégrale par dt, et en l'intégrant pour toutes les valeurs dont t, est susceptible, et ainsi de suite jusqu'à la dernière variable t; mais ces intégrations suecessives exigent quelques attentions particulières.

Considérons un terme quelconque de la quantité (A), tel que 19+9+9's+etc.

+( (s-t-t-etc., t,, t, etc.) Q'(s-t,-1,- etc.).q' (t,).q" (t,).etc.;

en le multipliant par dt,, il faut intégrer pour toutes les valeurs possibles de t,; or la fonction d' (s—t,- t,—etc.) n'a lieu que lorsque t, dont la valeur est s-t-t-etc., égale ou surpasse q; la plus grande valeur que t, puisse recevoir, est donc sq-t― t―etc. De plus, ' (t,) n'ayant lieu que lorsque t, est égal ou plus grand que q1, cette quantité est la plus petite valeur que t, puisse recevoir; il faut donc prendre l'intégrale dont il s'agit, depuis t,q, jusqu'à t1 = s-q-t2 — tз— etc.;

ou, ce qui revient au même, depuis t,q,o jusqu'à

t-q=sq-qi-ts- tz etc.