de l'assemblée électorale, a le plus grand mérite, et doit par conséquent être choisi. Ce mode d'élection serait sans doute le meilleur, si des considérations étrangères au mérite n'influaient point souvent sur le choix des électeurs, même les plus honnêtes, et ne les détermi naient point à placer aux derniers rangs, les candidats les plus redoutables à celui qu'ils préfèrent; ce qui donne un grand avantage aux candidats d'un mérite médiocre. Aussi l'expérience l'a-t-elle fait abandonner aux établissemens qui l'avaient adopté. Supposons que les erreurs d'une observation puissent s'étendre dans les limites+a eta; mais qu'ignorant la loi de probabilité de ces erreurs, on ne l'assujétisse qu'à la condition de leur donner une probabilité d'autant plus petite, qu'elles sont plus grandes; la probabilité des erreurs positives étant supposée la même que celle des erreurs négatives correspondantes, toutes choses qu'il est naturel d'admettre. La formule (e) donnera encore la loi moyenne des erreurs. Pour cela on concevra l'intervalle à partagé dans un nombre infini i de parties représentées par dx, ensorte que i on fera ensuite r=; la formule (6) devient ainsi dx a l'intégrale étant prise depuis x=x jusqu'à xa; dans la question présente s; car l'erreur devant tomber dans les limites—a et +a, la probabilité qu'elle tombera dans les limites o et a est; c'est la quantité s qu'il faut répartir sur tous les points de l'intervalle a ; la formule (6) devient donc alors Ainsi la loi moyenne des probabilités des erreurs positives x, ou négatives-x, est CHAPITRE III. Des lois de la probabilité, qui résultent de la multiplication indéfinie des événemens. 16. A MESURE que les événemens se multiplient, leurs probabilités respectives se développent de plus en plus : leurs résultats moyens et les bénéfices ou les pertes qui en dépendent, convergent vers des limites dont ils approchent avec des probabilités toujours croissantes. La détermination de ces accroissemens et de ces limites, est une des parties les plus intéressantes et les plus délicates de l'analyse des hasards. Considérons d'abord la manière dont les possibilités de deux événemens simples dont un seul doit arriver à chaque coup, se développent lorsqu'on multiplie le nombre de coups. Il est visible que l'événement dont la facilité est la plus grande, doit probablement arriver plus souvent dans un nombre donné de coups; et l'on est porté naturellement à penser qu'en répétant les coups un trèsgrand nombre de fois, chacun de ces événemens arrivera proportionnellement à sa facilité, que l'on pourra ainsi découvrir par l'expérience. Nous allons démontrer analytiquement cet important théorème. On a vu dans le n° 6 que si pet 1-p sont les probabilités respectives de deux événemens a et b; la probabilité que dans x+x' coups, l'événement a arrivera x fois, et l'événement b, x' fois, est égale à 1. 1.2.3.,.(x+x^) ..2.3...x.1.2.3...x' •p2. (1—p)"; c'est le (x+1)ieme terme du binome [p+ (1-p)]+*'. Considérons le plus grand de ces termes que nous désignerons par k. Le terme Pour que k soit le plus grand terme, il faut que l'on ait à la fois il est facile d'en conclure que si l'on fait x+x'=n, on aura x<(n+1).p>(n+1).p−1 ; ainsi x est le plus grand nombre entier compris dans (n+1).p; en faisant donc ́s sera moindre que l'unité. Si x et x' sont de très-grands nombres, 'on aura à très-peu près, c'est-à-dire que les exposans de p et de 1-p, dans le plus grand terme du binome, sont à fort peu près dans le rapport de ces quantités; ensorte que de toutes les combinaisons qui peuvent avoir lieu dans un très-grand nombre n de coups, la plus probable est celle dans laquelle chaque événement est répété proportionnellement à sa probabilité. Le terme Zieme, après le plus grand, est 1.2.3....n 1.2.3...(x—l). 1. 2. 3. ...(x+1)•p*~'. (1—p)='+1. On a par le n° 32 du premier Livre, 1.2.3...n=n"+i.cTM”. V. {1+1+etc.}; ce qui donne Développons le terme (x-1). Son logarithme hyperbo log (1-1)=-1----etc.; 4x4 nous négligerons les quantités de l'ordre, et nous supposerons que > ne surpasse point l'ordre n; alors on pourra négliger les termes de l'ordre parce que x et x' sont de l'ordre n. On aura ainsi 24 ce qui donne, en repassant des logarithmes aux nombres, l'unité; en faisant donc p=*=*, z sera compris dans les limites et - n+i n+1 n et par conséquent il sera, abstraction faite du signe, au-dessous de l'unité. La valeur de p donne 1—p=*+; On aura le terme antérieur au plus grand terme, et qui en est éloigné à la distance l, en faisant / négatif dans cette équation; en réunissant ensuite ces deux termes, leur somme sera prise depuis lo inclusivement, exprimera donc la somme de tous les termes du binome [p++(1-p)]", comprise entre les deux termes, dont l'un a p*+ pour facteur, et l'autre a p2-' pour facteur, et qui sont ainsi équidistáns du plus grand terme; mais il faut retrancher de cette somme, le plus grand terme qui y est évidemment compris deux fois. Maintenant, pour avoir cette intégrale finie, nous observerons que l'on a, par le n° 10 du premier Livre, y étant fonction de 1, dy Σ‚ |