CHAPITRE IV. De la probabilité des erreurs des résultats moyens d'un grand nombre d'observations, et des résultats moyens les plus avantageux. 18. CONSIDERONS maintenant les résultats moyens d'un grand nombre d'observations, dont on connaît la loi de facilité des erreurs, Supposons d'abord que pour chaque observation, les erreurs puissent être également n, −n+1, −n+2,...—1, 0, 1,...n—2, n—1, n. Si l'on nomme s, le 1 anti* La probabilité de chaque erreur sera nombre des observations, le coefficient de V dans le déve loppement du polynome la sera le nombre des combinaisons dans lesquelles la somme des erreurs est 1. Ce coefficient est celui qui est indépendant de c et de ses puissances, dans le développement du même polynome -La V= multiplié par c on aura donc pour l'expression de ce coefficient, .fda.(cosla√1.sinl@). (1+2 cos@+2 COS 2@.....+2 Cosn@)', l'intégrale étant prise depuis @o jusqu'à 7. On a vu dans le n° 36 du premier Livre, que cette intégrale est le nombre total des combinaisons des erreurs est (2n+1); en divisant la quantité précédente par celle-ci, on aura pour la probabilité que la somme des erreurs des s observations la probabilité que la somme des erreurs sera comprise dans les limites + 2T..(n+1).s et 27.. - · (n + 1).s sera égale à l'intégrale étant prise depuis to jusqu'à t=T. Cette expression a lieu encore dans le cas de n infini. Alors en nommant 2a l'intervalle compris entre les limites des erreurs de chaque observation, on aura n➡a, et les limites précédentes deviendront 27.a. Vs. ainsi la probabilité que la somme des erreurs sera comprise dans les limites ar. Vs est α. V6 ar c'est aussi la probabilité que l'erreur moyenne sera comprise dans les limites + ; car on a l'erreur moyenne, en divisant par s la somme des erreurs. La probabilité que la somme des inclinaisons des orbites de s comètes, sera comprise dans des limites données, en supposant toutes les inclinaisons également possibles, depuis zéro jusqu'à l'angle droit, est évidemment la même que la probabilité précédente; l'intervalle 2a des limites des erreurs de chaque observation est, dans ce cas, l'intervalle des limites des inclinaisons possibles; alors la pro 2 babilité que la somme des inclinaisons doit être comprise dans les limites 3 T.TV/S est 2. ✓ Sar.c que l'on a trouvé dans le n° 13. i ; ce qui s'accorde avec ce Supposons généralement que la probabilité de chaque erreur positive ou négative, soit exprimée par ❤(), nombres infinis. Alors, dans la fonction ,x et n étant des 1+2 COS @ + 2 COS 20+ 2 cos 3@...+ 2 cos no, chaque terme, tel que 2 cos xa, doit être multiplié par () devient an.fdx'. (x')-n31.fx12dx' .Q(x') + etc.;, les intégrales devant être étendues depuis x'o jusqu'à x'=1. Soit alors k=2fdx'. (x'), k"=fx''dx'.4 (x'), etc. La série précédente devient nk. (1-.na+etc.). Maintenant la probabilité que la somme des erreurs des s obser vations séra comprise dans les limites 1, est, comme il est facile de 's'en assurer par les raisonnemens précédens, l'intégrale étant prise depuis nul jusqu'à = ; cette probabilité en prenant les logarithmes hyperboliques, on aura à très-peu près lorsque s est un grand nombre, Si l'on observe ensuite que nk ou 2.fdx.) exprimant la probabilité que l'erreur d'une observation est comprise dans les limites ±n, cette quantité doit être égale à l'unité; la fonction (u) deviendra 2.√.al. dt.c.cos (√); l'intégrale relative à t devant être prise depuis t nul jusqu'à t=T.n. k"s 下, ou jusqu'à t=∞, n étant supposé infini; or on a, par le n° 25 du premier Livre, Jdt.cos (√) en faisant donc Ꮩ 4n k's Ainsi en nommant, comme ci-dessus, 2a l'intervalle compris entre les limites des erreurs de chaque observation, la probabilité que la somme des erreurs des s observations, sera comprise dans les limites ar. Vs, est k si (#) est constant; est constant; alors=6, et cette probabilité devient ce qui est conforme à ce que l'on a trouvé ci-dessus. Si () n ou (x') est une fonction rationnelle et entière de x", on aura, par la méthode du n° 15, la probabilité que la somme des erreurs sera comprise dans les limites ar. Vs, exprimée par une suite de puissances s, 2s, etc. de quantités de la forme s-μr. √s, dans lesquelles μ augmente en progression arithmétique, ces quantités étant continuées jusqu'à ce qu'elles deviennent négatives. En comparant cette suite à l'expression précédente de la même probabilité, on obtiendra d'une manière fort approchée, la valeur de la suite; et l'on parviendra ainsi sur ce genre de suites, à des théorèmes analogues à ceux que nous avons donnés dans le 'no 42 du premier Livre, sur les différences finies des puissances d'une variable. Si la loi de facilité des erreurs est exprimée par une exponentielle négative qui puisse s'étendre jusqu'à l'infini, et généralement si les erreurs peuvent s'étendre à l'infini; alors a devient infini, et l'application de la méthode précédente peut offrir quelques difficultés. Dans tous ces cas, on fera 7=x', = dx', |