des probabilités, exposés au commencement de ce Livre, on évalue ce désavantage, en prenant la somme de tous les produits de chaque désavantage par sa probabilité; la valeur moyenne de l'erreur à craindre en plus, est donc la somme des produits de chaque erreur par sa probabilité; elle est par conséquent égale à l'intégrale prise depuis u nul jusqu'à u infini; ainsi cette erreur est Cette quantité prise avec le signe, donne l'erreur moyenne à craindre en moins. Il est visible que le système des facteurs m qu'il faut choisir, doit être tel que ces erreurs soient des minima, et VS. ma S.mp par conséquent tel que soit un minimum. Si l'on différentie cette fonction par rapport à m, on aura en égalant sa différentielle à zéro, par la condition du minimum, Cette équation a lieu quel que soit i; et comme la variation de i ne fait point changer la fraction fraction, on aura S.m2 S.mp; en nommant μ cette m=μ.p, m=μ.p(1),....m(-1)=μ.p(−1); et l'on peut, quels que soient p, p, etc., prendre μ tel que les nombres m, m, etc. soient des nombres entiers, comme l'analyse précédente le suppose. Alors on a S.pa c'est dans toutes les hypothèses que l'on peut faire sur les facteurs m, m, etc., la plus petite erreur moyenne possible. 1; l'erreur sera déter Si l'on fait les valeurs de m, m, etc. égales à moyenne à craindre sera plus petite lorsque le signe miné de manière que mp soit positif; ce qui revient à supposer 1=m=m=etc., et à préparer les équations de condition de sorte que le coefficient de z dans chacune d'elles, soit positif; c'est ce que l'on fait dans la méthode ordinaire. Alors le résultat moyen des observations est S.a et l'erreur moyenne à craindre en plus ou en moins, est mais cette erreur surpasse la précédente qui, comme on l'a vu, est la plus petite possible. On peut s'en convaincre d'ailleurs de cette manière. Il suffit de faire voir que l'on a l'inégalité En effet, 2pp est moindre que p+p, puisque (p-p)* est une quantité positive; on peut donc, dans le second membre de l'inégalité précédente, substituer pour 2pp, p+p1a—ƒ, ƒ étant une quantité positive. En faisant des substitutions semblables pour tous les produits semblables, ce second membre sera égal au premier, moins une quantité positive. Le auquel correspond le minimum d'erreur moyenne à craindre, est celui que donne la méthode des moindres carrés des erreurs des observations; car la somme de ces carrés étant (p.za)+(p1.z — a(1)a... + (p(−1). z—a(−1)) *; la condition du minimum de cette fonction, en faisant varier z, donne pour cette variable, l'expression précédente; cette méthode doit donc être employée de préférence, quelle que soit la loi de facilité des erreurs, loi dont dépend le rapport k" Ce rapport est, si (x) est une constante; il est moindre que, si (x) est variable, et tel qu'il diminue à mesure que x augmente, comme il est naturel de le supposer. En adoptant la loi moyenne des erreurs que nous avons donnée dans le n° 15, et 20 k" k = 18° suivant laquelle ❤ (x) est égal à .log, on a Quant aux limitesa, on peut prendre pour ces limites, les écarts du résultat moyen, qui feraient rejeter une observation. Mais on peut, par les observations mêmes, déterminer le facteur 'k" a. de l'expression de l'erreur moyenne. En effet, on a vu k dans le n° précédent, que la somme des carrés des erreurs des obser a2k" vations, est à très-peu près 28., et que si elles sont en grand nombre, il devient extrêmement probable que la somme observée ne s'écartera pas de cette valeur, d'une quantité sensible; on peut donc les égaler; or la somme observée est égale à S., ou à S. (p.z-a), en substituant pour z sa valeur trouve ainsi, S.p S.p; on L'expression précédente de l'erreur moyenne à craindre sur le expression dans laquelle il n'y a rien qui ne soit donné par les observations et par les coefficiens des équations de condition. 21. Supposons maintenant que l'on ait deux élémens à corriger par l'ensemble d'un grand nombre d'observations. En nommant zet z' les corrections respectives de ces élémens, on formera, comme dans le numéro précédent, des équations de condition, qui seront comprises dans cette forme générale ¿©=p↔.z+q.z' — œ‹3), étant, comme dans ce numéro, l'erreur de l'observation (i+1)ieme, Si l'on multiplie respectivement par m, m(1) .m- ces équations, et que l'on ajoute ensemble ces produits, on aura une première équation finale S.mz.S.mp+z'.S.mq-S.ma. En multipliant encore les mêmes équations respectivement par n(1) .n, et ajoutant ces produits, on aura une seconde n, équation finale S.n®¿©=z.S.n©p®+z'.S.n©q®— $.n®a®, le signe S s'étendant ici, comme dans le numéro précédent, à toutes les valeurs de i, depuis io jusqu'à is-1. Si l'on suppose nulles les deux fonctions S. m, S. n, fonctions que nous désignerons respectivement par (m) et (n); les deux équations finales précédentes donneront les corrections z et z' des deux élémens. Mais ces corrections sont susceptibles d'erreurs relatives à celle dont la supposition que nous venons de faire, est elle-même susceptible. Concevons donc que les fonctions (m) et (n), au lieu d'être nulles, soient respectivement / et l', et nommons u et u' les erreurs correspondantes des corrections z et z', détermi nées par ce qui précède; les deux équations finales deviendront 1 = u.S.mp+u' .S.mq, l' = u.S.n®p+u'.S.nq@. Il faut maintenant déterminer les facteurs m, m, etc.; n, n, etc., de manière que l'erreur moyenne à craindre sur chaque élément, soit un minimum. Pour cela, considérons le produit le signe se rapportant à toutes les valeurs de x, depuis x=- a jusqu'à x=a, 9 (-) étant, comme dans le numéro précédent, la probabilité de l'erreur x, ainsi de l'erreur que x. La fonction précédente devient, en réunissant les deux exponentielles relatives à x et à - x, 259 (#). cos (mx@+nx@') × 2/4 (#).cos (mx@+nx@')..... ..........× aƒ¢ (~).cos (m111'x@+n—1x@'), le signe s'étendant ici à toutes les valeurs de x, depuis x=0 jusqu'à x=a; x étant supposé, ainsi que a, divisé dans une infile nité de parties prises pour unité. Présentement, il est clair que terme indépendant des exponentielles, dans le produit de la foncla VV, est la probabilité que la tion précédente, par c somme des erreurs de chaque observation, multipliées respectivement par m, m, etc. ou la fonction (m), sera égal à 7, en même tems que la fonction (n), somme des erreurs de chaque observation, multipliées respectivement par n, n), etc., sera égal à l'; cette probabilité est donc |