42529267, la population correspondante à quinze cent mille naissances, on ne se trompera pas d'un demi-million. La différence entre la certitude et la probabilité P diminue avec une très-grande rapidité, lorsque z augmente: elle serait insensible, si l'on supposait z = 700000. 32. Considérons maintenant la probabilité des événemens futurs, tirée des événemens observés; et supposons qu'ayant observé un événement composé d'un nombre quelconque d'événemens simples, on cherche la probabilité d'un résultat futur, composé d'événemens semblables. Nommons x la probabilité de chaque événement simple, y la probabilité correspondante du résultat observé, et z celle du résultat futur; la probabilité de x sera, comme on l'a vu, ydx Sydx' l'intégrale étant prise depuis xo jusqu'à x=1; probabilité du résultat futur, prise de la valeur de x, considérée comme cause de l'événement simple; ainsi en nommant P la probabilité entière de l'événement futur, on aura P-fyzdx les intégrales du numérateur et du dénominateur étant prises depuis x=o jusqu'à x=1. Supposons, par exemple, qu'un événement étant arrivé m fois de suite, on demande la probabilité qu'il arrivera les n fois suivantes. Dans ce cas, x étant supposé représenter la possibilité de l'événement simple, a sera celle de l'événement observé, et x” celle de l'événement futur ; ce qui donne Supposons l'événement observé, composé d'un très-grand nombre d'événemens simples; soit a la valeur de x qui rend y un maximum, et Yce maximum; soit a' la valeur de x qui rend yz un maximum, et Y' et Z' ce que deviennent y et z à ce maximum. On aura par du premier Livre, à très peu près, le n° 27 Le résultat observé étant composé d'un très-grand nombre d'événemens simples, supposons que l'événement futur soit beaucoup moins composé. L'équation qui donne la valeur a' de x, correspondante au maximum de yz, est dz dy dy est une quantité très-grande, de l'ordre; et puisque le ré ydx sultat futur est très-peu composé par rapport au résultat observé, sera d'un ordre moindre, que nous désignerons par ; 1 I α dy ; ydx ainsi a étant la valeur de x qui satisfait à l'équation o= la différence entre a et a' sera très-petite de l'ordre aa, et l'on Mais on ado, et il est facile d'en conclure que dx ordre égal ou moindre que; le terme + etc. 2λ-1 conséquent au plus de l'ordre a"(-). Ainsi la convergence de l'expression de Y' en série, exige que à surpasse; et dans ce cas, y' ne diffère de Y, que de quantités de l'ordre a Si l'on nomme Z ce que devient z lorsqu'on y fait x= a; on s'assurera de la même manière que Z' peut se réduire à Z. Enfin, d'. (Z'Y') dx2 on prouvera par un raisonnement semblable, que se réduit à très-peu près à Z. En substituant ces valeurs dans l'expression de P, on aura d'Y P=Z; c'est-à-dire que l'on peut alors déterminer la probabilité du résultat futur, en supposant x égal à la valeur qui rend le résultat observé, le plus probable. Mais il faut pour cela que le résultat futur soit assez peu composé, pour que les exposans des facteurs de z soient d'un ordre de grandeur plus petit que la racine carrée des facteurs de y; autrement, la supposition précédente exposerait à des erreurs sensibles. Si le résultat futur est une fonction du résultat observé, z sera une fonction de y, que nous représenterons par ø (y). La valeur de x, qui rend zy un maximum est, dans ce cas, la même qui d.q (y) rend y un maximum; ainsi l'on a a' = a; et si l'on désigne dy (y), l'expression de P deviendra, en observant que par dY =0 9 x Si (y)=y", ensorte que l'événement futur soit n fois la répétition de l'événement observé; on aura La probabilité P calculée dans la supposition que la possibilité des événemens simples est égale à celle qui rend le résultat observé le plus probable, est Y": on voit ainsi que les petites erreurs qui résultent de cette supposition, s'accumulent à raison des événemens simples qui entrent dans le résultat futur, et deviennent trèssensibles lorsque ces événemens sont en grand nombre. 33. Depuis 1745, époque où l'on a commencé à distinguer à Paris sur les registres, les baptêmes des garçons de ceux des filles, on a constamment observé que le nombre des premiers a été supérieur à celui des seconds. Déterminons la probabilité que cette supériorité se maintiendra pendant un tems donné, par exemple, dans l'espace d'un siècle. Soit p le nombre observé des baptêmes des garçons; q celui des filles; 2n le nombre des baptêmes annuels; a la probabilité que l'enfant qui va naître et être baptisé sera un garçon. En élevant x+1−x à la puissance 2n, et développant cette puissance, on aura 2n. (2n-1) x2”+ 2n.xa”—1. (1—x) + x2-2. (1—x)'+etc. 1.2 La somme des n premiers termes de ce développement, sera la probabilité que chaque année, le nombre des baptêmes des garçons l'emportera sur celui des baptêmes des filles. Nommons z cette somme; zi sera la probabilité que cette supériorité se maintiendra pendant le nombre i d'années consécutives; donc si l'on désigne par P la probabilité entière que cela aura lieu; on aura par le numéro précédent, P — sx3dx. 21. (1—x)? les intégrales du numérateur et du dénominateur étant prises depuis x=o jusqu'à x=1. Si l'on nomme a la valeur de x qui rend x. z1. (1-x) un maximum, dz dz dz d'z et que l'on désigne par Z, dd, ce que deviennent z, dx' dx lorsqu'on y change x en a; on aura par le n° 26, z étant la somme des n premiers termes de la fonction l'intégrale du numérateur étant prise depuis u= 1—* jusqu'à u=∞, et celle du dénominateur étant prise depuis u=o jusqu'à u∞. Soit u= , cette valeur de z deviendra S l'intégrale du numérateur étant prise depuis so jusqu'à s = x, et celle du dénominateur étant prise depuis so jusqu'à s =1. De là on tire En changeant x en a dans ces expressions, on aura celles de Z, dz ddz Zdx' Zdx Pour déterminer a, nous observerons que la condition du maximum de x3.z'.(1-x)', donne |