même en totalité, si a' était nul, ou si les deux faces de la pièce B étaient parfaitement égales. p représentant la probabilité de croix, avec la pièce A, et q et q celle de pile; la probabilité d'amener croix un nombre impair de fois dans n coups, sera le signe ayant lieu si n est pair, et le signe + ayant lieu si n + a est impair. Faisant p= ,q, la fonction précédente devient 2 2 Sin est impair et égal à 2i+1, cette fonction est . (1 + a3i+1); mais comme on peut y supposer également a positif ou négatif, il faut prendre la moitié de la somme de ses deux valeurs relatives à ces suppositions; ce qui donne pour sa véritable valeur; l'inégalité des faces de la pièce ne change donc point alors la probabilité d'amener croix un nombre impair de fois. Mais si n est pair et égal à zi, cette probabilité devient 1. (1 — a2), (2) a étant l'inégalité inconnue de probabilité entre croix et pile; il y a donc du désavantage à parier d'amener croix ou pile un nombre impair de fois dans 2i coups, et par conséquent, il y a de l'avantage à parier d'amener l'un ou l'autre, un nombre pair de fois. On peut diminuer ce désavantage, en changeant le pari d'amener croix un nombre impair de fois en 2i coups, dans le pari d'amener dans le même nombre de coups, un nombre impair de ressemblances entre les faces des deux pièces A et B, projetées comme on l'a dit ci-dessus. En effet, la probabilité d'une ressemblance à chaque coup est, comme on l'a vu, pp' + qq', et la probabilité d'une dissemblance est pq'+ p'q. Nommons P la première de ces deux quantités, et Q la seconde ; la probabilité d'amener un nombre impair de ressemblances dans 2; coups, sera [(P+Q)-(P—Q)3]. Si l'on fait, comme précédemment, Cette fonction reste la même, quelque changement que l'on fasse dans les signes de a et de a'; elle est donc la vraie probabilité d'amener un nombre impair de ressemblances; mais a et a' étant de petites fractions, on voit qu'elle se rapproche de , plus que la formule (2); le désavantage d'un nombre impair est donc par là diminué. On voit par ce qui précède, que l'on peut diminuer l'influence des inégalités inconnues entre des chances que l'on suppose égales, en les soumettant elles-mêmes au hasard. Par exemple, si l'on met dans une urne, les n° 1, 2, 3,....n, suivant cet ordre, et qu'ensuite après avoir agité l'urne pour bien mêler ces numéros, on en tire un; s'il y a entre les probabilités de sortie des numéros, une petite différence dépendant de l'ordre suivant lequel ils ont été placés dans l'urne; on la diminuera considérablement, en mettant dans une seconde urne, ces numéros, suivant leur ordre de sortie de la première urne, et en agitant ensuite cette seconde urne, pour en bien mêler les numéros. Alors l'ordre suivant lequel on a placé les numéros dans la première urne, aura extrêmement peu d'influence sur l'extraction du premier numéro qui sortira de la seconde urne. On diminuerait encore cette influence, en considérant de la même manière une troisième urne, une quatrième, etc. Considérons deux joueurs A et B jouant ensemble, de manière qu'à chaque coup, celui qui perd, donne un jeton à son adversaire, et que la partie dure jusqu'à ce que l'un d'eux ait gagné tous les jetons de l'autre. Soient p et q leurs adresses respectives; a et b leurs nombres de jetons en commençant. Il résulte de la formule (H) du n° 10, en y faisant i infini, que la probabilité de A, pour gagner la partie, est p3. ( pa— qa ) Si l'on fait dans cette expression, p=1±d, q=1=; 2 on aura, en prenant le signe supérieur, la probabilité relative au cas où est plus fort que B; et en prenant le signe inférieur on aura la probabilité relative au cas où est moins fort que B. Si l'on ignore quel est le plus fort des joueurs, la demi-somme de ces deux probabilités sera la probabilité de A, que l'on trouve ainsi égale à a (1+α) a+b — (1—α)a+b b b a+b; (3) en changeant a en b, et réciproquement, on aura la probabilité de B. Si l'on suppose a infiniment petit ou nul; ces probabilités deviennent et elles sont donc proportionnelles aux nombres des jetons des joueurs; ainsi pour l'égalité du jeu, leurs mises doivent être dans ce rapport. Mais alors l'inégalité qui peut exister entre eux, est favorable au joueur qui a le plus petit nombre de jetons; car si l'on suppose a moindre que b, il est facile de voir que l'expression (3) est plus grande que Si a+b les joueurs conviennent de doubler, de tripler, etc. leurs jetons; l'avantage de A augmente sans cesse, et dans le cas de a et b infinis, sa probabilité devient ou la même que celle de B. a P étant la probabilité d'un événement composé de deux événemens simples dont p et 1-p sont les probabilités respectives; si l'on suppose que la valeur de p soit susceptible d'une inégalité inconnue qui puisse s'étendre depuis a jusqu'à +a; en nommant la probabilité de p+z, étant fonction de z; on aura pour la vraie probabilité de l'événement composé, SP'odz P' étant ce que devient P lorsqu'on y change p dans p+z, et les intégrales étant prises depuis z=— a jusqu'à z=a. Si l'on n'a d'autres données pour déterminer z, qu'un événement observé, formé des mêmes événemens simples; en nommant Q la probabilité de cet événement, p+z et i-p—z étant les probabilités des événemens simples; l'expression précédente donne, en y changeant en Q, pour la probabilité de l'événement composé, SP'Qdz les intégrales étant prises ici depuis z=p jusqu'à z=1—p; ce qui est conforme à ce que nous avons trouvé dans le chapitre précédent. CHAPITRE VIII. Des durées moyennes de la vie, des mariages et des associations quelconques. 35. SUPPOSONS que l'on ait suivi sur un très-grand nombre n d'enfans, la loi de mortalité, depuis leur naissance jusqu'à leur extinction totale; on aura leur vie moyenne, en faisant une somme des durées de toutes leurs vies, et en la divisant par le nombre n. Si ce nombre était infini, on aurait exactement la durée de la vie moyenne. Cherchons la probabilité que la vie moyenne des enfans, ne s'écartera de celle-ci, que dans des limites données. n n, Désignons par (), la probabilité de mourir à l'àge x, a étant la limite de x; a et x étant supposés renferiner un nombre infini de parties prises pour l'unité. Considérons la puissance il est visible que le coefficient de c(+).V, dans le dévelop- |