prennent la petite vérole, et ce nombre est par la supposition, iyda

y diminue encore par le nombre des individus compris dans périssent par d'autres causes, et ce nombre est yodx.

y, qui

Maintenant, si de la première des deux équations précédentes, multipliée par y, on retranche la seconde multipliée par u, et si Pon divise la différence par y', on aura

ce qui donne, en intégrant depuis x nul, et observant qu'à cette origine, uy=n,

}=(1— sirdx.c ̄sidx). Sidx; (4)

cette équation fera connaître le nombre d'individus de l'âge x, qui n'ont point encore eu la petite vérole. On a ensuite

zdx étant, comme ci-dessus, ceux qui périssent dans le tems dx, de la maladie que l'on considère. En substituant au lieu de 2, sa valeur précédente; on aura, après avoir intégré,

26

Cette valeur de U suppose que l'on connait par l'observation i et r. Si ces nombres étaient constans, il serait facile de les déterminer ; mais comme ils peuvent varier d'âge en âge, les élémens de la formule (3) sont plus aisés à connaître, et cette formule me semble plus propre à déterminer la loi de mortalité qui aurait lieu, si la petite vérole était éteinte. En lui appliquant les données que l'on 'a pu se procurer sur la mortalité causée par cette maladie, aux

divers âges de la vie; on trouve que son extinction au moyen de la vaccine, augmenterait de plus de trois années, la durée de la vie moyenne, si d'ailleurs cette durée n'était point restreinte par la diminution relative des subsistances, due à un plus grand accroissement de population.

37. Considérons présentement la durée moyenne des mariages. Pour cela concevons un grand nombre n de mariages entre n garçons de l'âge a, et n filles de l'âge a'; et déterminons le nombre de ces mariages subsistans après x années écoulées depuis leur origine. Nommons la probabilité qu'un garçon qui se marie à l'âge a, parviendra à l'âge a + x; et la probabilité qu'une fille qui se marie à l'âge a', parviendra à l'àge a'+x. La probabilité que leur mariage subsistera après sa ieme année, sera ; donc si l'on développe le binome (4+1)", le terme H.(0)'.(1—0↓)" de ce développement, exprimera la probabilité que sur les n mariages, i subsisteront après x années. Le plus grand terme du développement est, par le n° 16, celui dans lequel i est égal au plus grand nombre entier contenu dans n+1.94; et par le même numéro, il est extrêmement probable que le nombre des mariages subsistans ne s'écartera que très-peu en plus ou en moins de ce nombre. Ainsi, en désignant par i, le nombre des mariages subsistans; on pourra supposer à très-peu près,

i=n.04.

no est à fort peu près le nombre des n maris vivans à l'âge a+ x2 Les tables de mortalité le feront connaître d'une manière fort approchée, si elles ont été formées sur des listes nombreuses de mortalité; car si l'on désigne par p' le nombre des hommes vivans à l'âge a, sur l'ensemble de ces listes, et par q' le nombre des survivans à l'âge a+x; on aura à fort peu près, par le n° 29,

n.9="..

Si l'on nomme pareillement p" le nombre des femmes vivantés l'àge a', et par q" le nombre des suryiyantes à l'àge a'+x ; on

On formera ainsi d'année en année, une table des valeurs de i. En faisant ensuite une somme de tous les nombres de cette table, et en la divisant par n; on aura la durée moyenne des mariages faits à l'âge a pour les garçons, et à l'âge a' pour les filles.

Cherchons maintenant la probabilité que l'erreur de la valeur précédente de i, sera comprise dans des limites données. Suppoşons pour simplifier le calcul, que les deux conjoints soient du même âge, et que la probabilité de la vie des hommes soit la même que celle des femmes; alors on a

n.q'

Concevons que la valeur de i soit "+s; s sera l'erreur de cette expression de i. On a vu dans le n° 3o, que si l'on a observé que sur un très-grand nombre p d'individus de l'âge a, q sont parvenus à l'âge a + x; la probabilité que sur p' autres individus de p'q +z parviendront à l'âge a+x, est

l'âge a,

p

Si l'on suppose p et q infinis, on aura évidemment

ce qui donne à très-peu près, en négligeant le carré

p'2

ainsi la probabilité précédente de z, est en même tems la probabilité de cette expression de no. Supposons maintenant i=na+1; en considérant le binome (+)", la probabilité de cette expression de i est par le n° 16,

2n. (1-0).

.ang.(1-2).

Mais la valeur précédente de i devient, en y substituant pour no sa valeur,

la probabilité de cette dernière expression de i est égale au produit de celles de i et de z, trouvées ci-dessus; elle est donc égale à

Ayant supposé précédemment i= +s, on aura s=1

nq'
p'a

2nq'z p'2

en substituant donc pour sa valeur tirée de cette équation, et

observant l'on a à très-peu près 2 que l'on a à très-peu près; on aura pour la probabilité que la valeur de s sera comprise dans des limites données, l'expression intégrale

l'intégrale relative à z pouvant être prise depuis z z=∞ jusqu'à

z=∞. De là il est facile de conclure par les méthodes exposées précédemment, que si l'on fait

ainsi la probabilité que l'erreur de l'expression i= sera

nq'

p's

l'intégrale étant prise depuis s nul.

L'analyse précédente s'applique également à la durée moyenne d'un grand nombre d'associations formées de trois individus, ou de quatre individus, etc. Soit n ce nombre, et supposons que tous les associés soient du même âge a au moment de l'association; désignons par p le nombre des individus de la table de mortalité, de l'âge a, et par q le nombre des individus de l'âge a+x; le nombre i des associations existantes après x années écoulées depuis l'origine des associations, sera à fort peu près

r étant le nombre des individus de chaque association. On trou vera par la même analyse, la probabilité que ce nombre sera renfermé dans des limites données. La somme des valeurs de i correspondantes à toutes les valeurs de x, divisée par n, sera la durée moyenne de ce genre d'associations.