administrés, , peuvent s'assurer un bénéfice réel, en procurant des avantages aux personnes qui traitent avec eux : c'est en général le but de tous les échanges; mais ici, par une combinaison particulière, l'échange a lieu entre deux objets de même nature, dont l'un n'est que probable, tandis que l'autre est certain.

42. Le principe dont nous venons de faire usage pour calculer l'espérance morale, a été proposé par Daniel Bernoulli, pour expliquer la différence entre le résultat du calcul des probabilités et l'indication du' sens commun, dans le problème suivant. Deux joueurs A et B jouent à croix et pile, avec la condition que A paie à B, deux francs, si croix arrive au premier coup; quatre francs, s'il arrive au second coup; huit francs, s'il arrive au troisième coup, et ainsi de suite jusqu'au nieme coup. On demande ce que B doit donner à A, en commençant le jeu.

Il est visible que l'avantage de B, relatif au premier coup, est un franc; car il a de probabilité de gagner deux francs à ce coup. Son avantage relatif au second coup, est pareillement un franc; car il a de probabilité de gagner quatre francs à ce coup, et ainsi de suite; ensorte que la somme de tous ses avantages relatifs aux n coups, est n francs. Il doit donc pour l'égalité mathématique du jeu, donner à 4, cette somme qui devient infinie, si l'on suppose que le jeu continue à l'infini.

Cependant personne, à ce jeu, ne risquera avec prudence, une somme même assez modique, telle que cent francs. Pour peu que l'on réfléchisse à cette espèce de contradiction entre le calcul, et ce qu'indique le sens commun; on voit facilement qu'elle tient à ce que si l'on suppose, par exemple, n=50, ce qui donne 25. pour la somme que B peut espérer au cinquantième coup, cette somme immense ne produit point à B, un avantage moral proportionnel à sa grandeur; de manière qu'il y a pour lui un désavantage moral à exposer un franc pour l'obtenir avec la probabilité excessivement petite de réussir. Mais l'avantage moral que peut procurer une somme espérée, dépend d'une infinité de circonstances propres à chaque individu, et qu'il est impossible d'évaluer. La seule considération générale que l'on puisse employer à

cet égard, est que plus on est riche, moins une somme très-petite peut être avantageuse, toutes choses égales d'ailleurs. Ainsi la supposition la plus naturelle que l'on puisse faire, est celle d'un avantage moral réciproque, au bien de la personne intéressée. C'est à cela que se réduit le principe de Daniel Bernoulli, principe qui, comme on vient de le voir, fait coïncider les résultats du calcul avec les indications du sens commun, et qui donne le moyen d'apprécier avec quelque exactitude, ces indications toujours vagues. Son application au problème dont on vient de parler, va nous en fournir un nouvel exemple.

Nommons a la fortune de B avant le jeu, et x ce qu'il donne au joueur A. Sa fortune devient a-x+2, si croix arrive au premier coup; elle devient a−x + 2', si croix arrive au second coup, et ainsi de suite jusqu'au coup n, où elle devient a−x+2a, si croix n'arrive qu'au coup nieme. La fortune de B devient a-x, si croix n'arrive point dans les n coups, après lesquels la partie est supposée finir; mais la probabilité de ce dernier événement est En multipliant les logarithmes de ces diverses fortunes par leurs probabilités respectives et par k, on aura par ce qui précède, la fortune morale de B en vertu des conditions du jeu, égale à

1.k.log(a−x+2)+ —.k.log (a−x+2*).....

h.

. . + 12. k.log (a−x+2”) +1.k.log (a−x) +log 4.

1

Mais avant le jeu, sa fortune morale était k.loga + log h; en égalant donc ces deux fortunes, pour que B conserve toujours la même fortune morale, et repassant des logarithmes aux nombres, on aura, a—x étant supposé égal à a', et faisant —=a,

22

; (0)

les facteurs (1+2×), (1+2a) vont en diminuant sans cesse,

et

et leur limite est l'unité; car on a

(1+2'. a) > (1 + 2i+1

En effet, si l'on élève à la puissance 2+1, les deux membres de cette inégalité, elle devient

1+2i+1‚a+21i.aa>1+2i+1.a;

et sous cette forme, l'inégalité devient évidente. De plus, le loga

visible que cette fonction est nulle dans le cas de i infini, ce qui

exige que dans ce cas, (1+2.a) soit l'unité.

Si l'on suppose n infini dans l'équation (o), on a le cas où la partie peut se prolonger à l'infini, ce qui est le cas le plus avantageux à B. a' et par conséquent a étant supposés connus; on prendra la somme des logarithmes tabulaires d'un assez grand nombre i-1, des premiers facteurs du second membre, pour que 21a soit au moins égal à dix. La somme des logarithmes tabulaires des facteurs suivans, jusqu'à l'infini, sera à très-peu près égale à

L'addition de ces deux sommes donnera le logarithme tabulaire de a'+x ou de a. Ainsi l'on aura pour une fortune physique a, supposée a avant le jeu, la valeur de x qu'il doit donner à A au commencement du jeu, pour conserver la même fortune morale. En supposant, par exemple, a' égal à cent, on trouve a 107,89; d'où il suit que la fortune physique de B étant primitivement 107,89, il ne doit alors risquer prudemment à ce jeu, que 7,89, au lieu de la somme infinie que le résultat du calcul indique, lorsqu'on fait abstraction de toutes considérations morales. Ayant ainsi la valeur de a relative à a'='100, il est facile d'en conclure de la manière suivante, sa valeur relatiye à a' 200; en effet on a, dans

ce dernier cas,

a=(200+2)*. (200+2*)*. etc.—2. (100+1). (100+2)2. (100+4)*.etc.

Mais on vient de trouver

donc

(100+2)a.(100+4)*. etc. =(107,89);

a=2.√101.107,89 = =208,78.

Ainsi la fortuné physique de B étant primitivement 208,78, il ne peut risquer prudemment à ce jeu, au-delà de 8,78.

43. Nous allons maintenant étendre le principe exposé ci-dessus, aux choses dont l'existence est éloignée et incertaine. Pour cela, considérons deux personnes et B, qui veulent placer chacune en viager, un capital q. Elles peuvent le faire séparément : elles peuvent s'associer et constituer une rente viagère sur leurs têtes, de manière que la rente soit reversible à celle qui survit à l'autre. Examinons quel est le parti le plus avantageux.

Supposons les deux personnes du même âge, et ayant la même fortune annuelle que nous représenterons par l'unité, indépendamment du capital qu'elles veulent placer. Soit 6 la rente viagère que ce capital leur produirait à chacune, si elles plaçaient leurs capitaux séparément, ensorte que leur fortune annuelle devienne 1+6. Nous exprimerons, conformément au principe dont il s'agit, leur fortune morale annuelle correspondante, par k.log(1+6)+logh. Mais cette fortune n'aura lieu que probablement, à la zieme année; ainsi en désignant par y la probabilité que A vivra à la fin de la ieme année, on doit multiplier sa fortune morale annuelle relate à cette année, par y,; en ajoutant donc tous ces produits, leur somme que nous désignerons par [k.log (1 +6)+log h]..y, sera ce que je nomme ici, fortune morale viagère.

Supposons maintenant que A et B placent la somme 24 de leurs capitaux, sur leurs têtes, et que cela produise une rente viagère 6', reversible au survivant. Tant que A et B vivront, chacun d'eux ne touchera que 6' de rente viagère, et leur fortune morale annuelle sera k.log(1+6')+log h. En la multipliant par la proba

bilité qu'ils vivront tous deux à la fin de l'année, probabilité égale à (y); la somme de ces produits pour toutes les valeurs de x, sera la fortune morale viagère de 4, relative à la supposition de leur existence simultanée; cette fortune est donc

[k.log(1+)+log].Σ. (y.)'.

La probabilité que existera seul à la fin de la xieme année, est y-(y); sa fortune morale viagère relative à son existence après la mort de B, qui rend sa fortune morale annuelle égale à 1+6', est donc

[k.log(1+6')+log h]..[y. (Ys)'].

La somme de ces deux fonctions,

*.log(1+). Σ. (y.)‍+k.log(1+6'). [Σ.y.—Σ. (y.)']+logh.Σ.y«,

sera la fortune morale viagère de A dans l'hypothèse où A et B placent conjointement leurs capitaux.

Si l'on compare cette fortune à celle que nous venons de trouver dans le cas où ils placent séparément leurs capitaux; on voit qu'il y aura pour Д de l'avantage ou du désavantage à placer conjointement, suivant que

Σ

log (1+)..(y)+log (1 +6'). [Σ.y.—Σ. (y.)']

sera plus grand ou moindre que log(1+6).Σ.y.. Pour le savoir, il faut déterminer le rapport de 6' à 6; or on a par le no 40,

9= 6.Σ.pys

1- étant l'intérêt annuel de l'argent: on a ensuite par le même

Les tables de mortalité donneront les valeurs de Z.y, Σ.(J=)',