Théorie analytique des probabilités

Déterminer dans les suppositions précédentes, la probabilité que la somme des
erreurs d'un grand nombre d'observations, ou la somme de leurs carrés, de
leurs cubes, etc., sera comprise dans des limites données, abstraction faite
du signe. Expression générale de cette probabilité, et de la somme la plus
probable..
n° 19, page 30g

Un élément étant connu à fort peu près, déterminer sa correction par l'ensemble
d'un grand nombre d'observations. Formation des équations de condition. En
les disposant de manière que dans chacune d'elles, le coefficient de la cor-
rection de l'élément ait le même signe, et les ajoutant, on forme une équation
finale qui donne une correction moyenne. Expression de la probabilité que
l'erreur de cette correction moyenne est comprise dans des limites données. La
manière la plus générale de former l'équation finale, est de multiplier chaque
équation de condition, par un facteur indéterminé, et d'ajouter tous ces pro-
duits. Expression de la probabilité que l'erreur de la correction donnée par
cette équation finale, est comprise dans des limites données. Expression de
l'erreur moyenne que l'on peut craindre en plus ou en moins. Détermination
du système de facteurs, qui rend cette erreur un minimum. On est conduit
alors au résultat que donne la méthode des moindres carrés des erreurs des
observations. Erreur moyenne de son résultat. Son expression dépend de la

loi de facilité des erreurs des observations. Moyen de l'en rendre indépen
dant......
n° 20, page 312

Corriger par l'ensemble d'un grand nombre d'observations, plusieurs élémens

déjà connus à fort peu près. Formation des équations de condition. En les

multipliant chacune par un facteur indéterminé, et ajoutant les produits, on

forme une première équation finale: un second système de facteurs, donne une

seconde équation finale, et ainsi de suite jusqu'à ce que l'on ait autant d'équa-

tions finales, qu'il y a d'élémens à corriger. Expressions des erreurs moyennes

l'on peut craindre sur chaque élément corrigé par ces équations finales.

Détermination des systèmes de facteurs, par la condition que ces erreurs moyennes

soient des minima. On retombe alors dans la méthode des moindres carrés

des erreurs des observations; d'où il suit que cette méthode est celle que le

calcul des probabilités indique comme étant la plus avantageuse. Expressions des

erreurs moyennes qu'elle laisse encore à craindre en plus ou en moins, sur

chaque élément. Ces expressions sont indépendantes de la loi de facilité des

erreurs de chaque observation, et ne renferment que des données des obser-

vations. Moyen simple de comparer entre elles, du côté de la précision, di-

verses tables astronomiques d'un même astre....
n° 21 page 322

Examen du cas où la possibilité des erreurs négatives, n'est pas la même que celle

des erreurs positives. Résultat moyen vers lequel converge la somme des pro-

duits des erreurs d'un grand nombre d'observations, par des facteurs quelconques;

probabilité de cette convergence....
n° 22, page 329

Examen du cas où l'on considère les observations déjà faites. Alors l'erreur de

la première, donne les erreurs de toutes les autres. La probabilité de cette

erreur, prise à posteriori, ou d'après les observations déjà faites, est le pro-

duit des probabilités respectives, à priori, des erreurs de chaque observation. En

concevant donc une courbe dont l'abscisse soit l'erreur de la première obser-

vation, et dont ce produit soit l'ordonnée; cette courbe sera celle des probabilités,

à posteriori, des erreurs de la première observation. L'erreur qu'il faut lui sup-

poser est l'abscisse correspondante à l'ordonnée qui divise l'aire de la courbe,

en deux parties égales. La valeur de cette abscisse dépend de la loi inconnue des

probabilités, à priori, des erreurs des observations; et dans cette ignorance,

il convient de s'en tenir au résultat le plus avantageux, déterminé à priori,

par les articles précédens. Recherche de la loi des probabilités, à priori, des

erreurs, qui donne constamment la somme des erreurs, nulle pour le résultat

qu'il faut choisir à posteriori. Cette loi donne généralement la règle du minimum

des carrés des erreurs des observations. Cette dernière règle devient nécessaire,

lorsque l'on doit choisir un résultat moyen entre plusieurs résultats donnés chacun,

par un grand nombre d'observations de divers genres...... n° 23, page 333

Recherche du système de corrections de plusieurs éléniens, par un grand nombre
d'observations, qui rend un minimum, abstraction faite du signe, la plus
grande des erreurs qu'il leur suppose. Ce système est celui qui rend un minimum,

Ja somme des puissances semblables, très-élevées et paires de chaque erreur.
Il diffère
la méthode des moindres carrés des erreurs
du système donné
peu
par

des observations. Notice historique sur les méthodes de correction des élémens,

par les observations....

n° 24, page 343

CHAP. V. Application du Calcul des Probabilités, à la recherche

des phénomènes et de leurs causes....

page 349

On peut par l'analyse des chapitres précédens, appliquée à un grand nombre

d'observations, déterminer la probabilité de l'existence des phénomènes dont

l'étendue est assez petite pour être comprise dans les limites des erreurs de

chaque observation. Formules qui expriment que les probabilités de l'existence

du phénomène et de son étendue, sont comprises dans des limites données:

Application à la variation diurne du baromètre, et à la rotation de la terre,

déduite des expériences sur la chûte des corps. La même analyse est applicable

aux questions les plus délicates de l'astronomie, de l'économie politique, de la

médecine, etc., et à la solution des problèmes sur les hasards, trop compliqués,

pour être résolus directement par l'analyse. Un plancher étant divisé en petits

carreaux rectangles, par des lignes parallèles et perpendiculaires entre elles;

déterminer la probabilité qu'en projetant au hasard, une aiguille, elle retom-

bera sur un joint de ces carreaux...

n° 25, page 349

CHAP. VI. De la probabilité des causes et des événemens futurs,

tirée des événemens observés......

page 363

Un événement observé étant composé d'événemens simples du même genre, et

dont la possibilité est inconnue; déterminer la probabilité que cette possibilité

est comprise dans des limites données. Expression de cette probabilité. Formule

pour la déterminer par une série très-convergente, lorsque l'événement observé

est composé d'un grand nombre de ces événemens simples. Extension de cette

formule, au cas où l'événement observé est composé de plusieurs genres différens

d'événemens simples......

... n° 26, page 363

Application de ces formules aux problèmes suivans. Deux joueurs A et B jouent
ensemble à cette condition, que celui qui sur trois coups en aura gagné deux,
gagnera la partie, le troisième coup n'étant pas joué comme inutile, si le méme
joueur gagne les deux premiers coups. Sur un grand nombre n de parties
gagnées, A en a gagné le nombre i; on demande la probabilité que son
adresse, respectivement au joueur B, est comprise dans des limites données.

On demande la probabilité que le nombre des coups joués est compris dans des

limites déterminées. Enfin, ce dernier nombre étant supposé connu, on de-

mande la probabilité que le nombre des parties est compris dans des limites

données.

Solutions de ces divers problèmes..

n° 27,

› page 369

Application des formules du n° 26, aux naissances observées dans les principaux

lieux de l'Europe. Partout le nombre des naissances des garçons est supérieur à

celui des naissances des filles. Déterminer la probabilité qu'il existe une cause

constante de cette supériorité, d'après les naissances observées dans un lieu

donné. Solution du problème. Cette probabilité pour Paris, diffère excessive-

ment peu de la certitude...

n° 28, page 377

A Paris, le rapport des baptêmes des garçons à ceux des filles, est

19
18°

24'

tandis

qu'à Londres, ce rapport est Déterminer la probabilité qu'il existe une

cause constante de cette différence. Solution du problème. Cette probabilité

est très-grande. Conjecture vraisemblable sur cette cause.... n° 29, page 381

Recherche de la probabilité des résultats fondés sur les tables de mortalité ou
d'assurance, construites sur un grand nombre d'observations.
Supposant que sur un grand nombre p d'individus de l'âge A, on ait observé
qu'il en existe q à l'âge A+a, r à l'âge A+a+a', etc., déterminer la
probabilité que sur un grand nombre p' d'individus du même âge A, il en
p'r
P¶±z à l'âge A+a,
existera +z
Iz à l'âge A+a', etc. Solution du
P

problème. Il en résulte qu'en augmentant le nombre p, on approche sans

cesse de la vraie loi de mortalité, avec laquelle les résultats des observations

coïncideraient, si p était infini.....

n° 30, page 384

Evaluer au moyen des naissances annuelles, la population d'un vaste empire.

Solution du problème. Application à la France. Probabilité que l'erreur de

cette évaluation sera comprise dans des limites données..... n° 31, page 391

Expression de la probabilité d'un événement futur, tirée d'un événement observé.

Lorsque l'événement futur est composé d'un nombre d'événemens simples,

beaucoup plus petit que celui des événemens simples qui entrent dans l'évé

nement observé; on peut sans erreur sensible, déterminer la possibilité de

l'événement futur, en supposant à chaque événement simple, la possibilité qui

rend l'événement observé, le plus probable..

n° 32, page 394

Depuis l'époque où l'on a distingué à Paris, sur les registres, les naissances

de chaque sexe, on a observé que le nombre des naissances masculines l'em-

porte sur celui des naissances féminines; déterminer la probabilité que cette

supériorité annuelle se maintiendra dans un intervalle de tems donné, par

exemple, dans l'espace d'un siècle.......

n° 33, page 397

CHAP. VII. De l'influence des inégalités inconnues qui peuvent

exister entre des chances que l'on suppose parfaitement égales,

Examen des cas dans lesquels cette influence est favorable ou contraire. Elle
est contraire à celui qui, au jeu de croix et pile, parie d'amener croix un

influence...

nombre impair de fois, dans un nombre pair de coups. Moyen de corriger cette

n° 34, page 402

CHAP. VIII. Des durées moyennes de la vie, des mariages et des

associations quelconques...

page 408

Expression de la probabilité que la durée moyenne de la vie d'un grand nombre

n d'enfans, sera comprise dans ces limites, vraie durée moyenne de la vie,

plus ou moins une quantité donnée très-petite. Il en résulte que cette pro-

babilité croît sans cesse à mesure que le nombre des enfans augmente, et

que dans le cas d'un nombre infini, cette probabilité se confond avec la certi-

tude, l'intervalle des limites devenant infiniment petit ou nnl. Expression de