l'équation proposée aux différences, et sa recherche est l'objet du calcul intégral. Si l'on conçoit les indices des séries que nous venons de considérer, comme infinis; et qu'en divisant chacun d'eux par un nombre infini, mais constant, on représente ces divers quotiens par autant de variables; si l'on regarde ensuite, comme différence infiniment petite d'une quelconque de ces variables, l'unité divisée par le nombre infini constant qui lui correspond; enfin, si l'on né glige les puissances supérieures de ces infiniment petits, relativement aux inférieures, et les infiniment petits eux-mêmes, eu égard aux quantités finies; les équations aux différences finies seront transformées dans des équations aux différences infiniment petites, dont les intégrales seront celles des équations aux différences finies, dans lesquelles on aura substitué, au lieu des indices, les variables correspondantes, en négligeant pareillement les infiniment petits, relativement aux quantités finies. Les quantités qu'on néglige dans ce passage du fini à l'infiniment petit, semblent ôter au calcul infinitésimal, la rigueur des résultats géométriques; mais il suffit, pour la lui rendre, d'envisager les quantités que l'on conserve dans le développement des équations aux différences finies et de leurs intégrales, par rapport aux puissances des différences indéterminées, commc ayant toutes pour facteurs leurs plus petites puissances, dont on compare entre eux les coefficiens. Cette comparaison étant rigoureuse, le calcul différentiel qui n'est évidemment que cette comparaison même, a toute la rigueur des autres opérations algébriques. Mais la considération des infiniment petits de différens ordres que l'on reconnaît souvent avec facilité par l'inspection seule des grandeurs, et l'omission des infiniment petits d'un ordre supérieur à celui que l'on conserve, à mesure qu'ils se présentent, simplifient extrêmement les calculs et sont l'un des principaux avantages de l'analyse infinitésimale, qui d'ailleurs, en réalisant les infiniment petits, donne par une première approximation, les différences et les sommes des quantités. Le passage du fini à l'infiniment petit, a l'avantage d'éclairer plusieurs points de l'analyse infinitésimale, qui ont été l'objet de grandes contestations parmi les géomètres. C'est ainsi que j'ai fait voir dans les Mémoires de l'Académie des Sciences, pour l'année 1779, et que je démontrerai ci-après, la possibilité d'introduire des fonctions arbitraires discontinues dans les intégrales des équations aux diffé rences partielles, pourvu que ces fonctions soient assujéties à des conditions déterminées. Les résultats transcendans de l'analyse sont, comme toutes les abstractions de l'entendement, des signes généraux, dont on ne peut connaître la véritable étendue, qu'en remontant par l'analyse mathématique, aux idées élémentaires qui y ont conduit, ce qui présente souvent de grandes difficultés; car l'esprit humain en éprouve moins encore à se porter en avant, qu'à se replier sur lui-même. Il paraît que Fermat, le véritable inventeur du calcul différentiel, a considéré ce calcul comme une dérivation de celui des différences finies, en négligeant les infiniment petits d'un ordre supérieur, par rapport à ceux d'un ordre inférieur : c'est du moins ce qu'il a fait dans sa méthode de maximis, et dans celle des tangentes, qu'il a étendue aux courbes transcendantes. On voit même par sa belle solution du problème de la réfraction de la lumière, en supposant qu'elle parvient d'un point à un autre dans le tems le plus court, et en concevant qu'elle se meut dans les divers milieux diaphanes, avec différentes vitesses; on voit, dis-je, qu'il savait étendre son calcul, aux fonctions irrationnelles, en se débarrassant des irrationalités, par l'élévation des radicaux aux puissances. Newton a depuis rendu ce calcul plus analytique, dans sa Méthode des fluxions, et il en a simplifié et généralisé les procédés, par l'invention de son théorème du binome. Enfin, presqu'en même tems, Léibnitz a enrichi le calcul différentiel d'une notation très-heureuse, et qui s'est adaptée d'elle-même à l'extension que le calcul différentiel a reçue par la considération des différentielles partielles. La langue de l'analyse, la plus parfaite de toutes les langues, étant par elle-même un puissant instrument de découvertes; ses notations, lorsqu'elles sont nécessaires et heureusement imaginées, sont les germes de nouveaux calculs. Ainsi la simple idée qu'eut Descartes, d'indiquer les puissances représentées par des lettres, en écrivant vers le haut de ces lettres, les nombres qui expriment le degré de ces puissances, a donné naissance au calcul exponentiel; et Léibnitz a été conduit par sa notation, à l'analogie singulière des puissances et des différences. Le calcul des fonctions génératrices, qui donne la véritable origine de cette analogie, offre tant d'exemples de ce transport des exposans des puissances aux caractéristiques, qu'il peut encore être considéré comme le calcul exponentiel des caractéristiques. Le calcul des différences finies et des sommes des fonctions rationnelles et entières d'une variable, a précédé le calcul diffé→ rentiel; mais la considération des équations aux différences finies, a suivi celle des équations aux différences infiniment petites. A la verité, les termes généraux des progressions arithmétiques et géométriques, que l'on connaissait depuis long-tems, ne sont au fond que les intégrales d'équations aux différences finies, données par l'égalité des rapports arithmétiques et géométriques à des constantes ; mais on ne les avait pas envisagés sous ce point de vue, l'un de ceux qui, se rattachant à des théories générales, ont plusieurs fois conduit à ces théories, et sont par là de véritables découvertes. Taylor et Moivre sont, si je ne me trompe, les premiers qui aient considéré les équations aux différences finies. Moivre a intégré généralement les équations linéaires aux différences finies à coefficiens constans, et qu'il a désignées sous le nom d'échelles des suites récurrentes. Sa théorie est une des choses les plus curieuses et les plus utiles que l'on ait trouvées sur les suites. J'ai considéré depuis, les équations linéaires aux différences finies partielles ; plusieurs géomètres se sont ensuite occupés du même objet. L'intégration de ces équations, comme tout ce qui concerne les séries, découle avec une extrême facilité de la théorie des fonctions génératrices. CHAPITRE 9 CHAPITRE PREMIER. Des Fonctions génératrices, à une variable. 2. Sorry, une fonction quelconque de a; si l'on forme la suite on peut toujours concevoir une fonction de t, qui développée suivant les puissances de t, donne cette suite: cette fonction est ce que je nomme fonction génératrice de y', La fonction génératrice d'une variable quelconque y., est donc généralement une fonction de t, qui développée suivant les puissances de t, a cette variable pour coefficient de t; et réciproquement, la variable correspondante d'une fonction génératrice, est le coefficient de i dans le développement de cette fonction suivant les puissances de t; ensorte que l'exposant de la puissance de t, indique le rang que la variable y, occupe dans la série que l'on peut concevoir prolongée indéfiniment à gauche, relativement aux puissances négatives de t. Il suit de ces définitions, que ù étant la fonction génératrice de y, celle de y+, est; car il est visible que le coefficient de ✩ t t dans est égal à celui de + dans u; par conséquent il est égal àye+i. Le coefficient de ť dans u.(-1) est donc égal à y2+1—y;, ou à la différence des deux quantités consécutivesy, ety, différence que nous désignerons par A.y., A étant la caractéristique des différences finies. On a donc la fonction génératrice de la diffé rence finie d'une quantité variable, en multipliant par-1, Ia fonction génératrice de la quantité elle-même. La fonction génératrice de la différence finie de A.y., différence que l'on désigne par ▲2. y., est ainsi u.(;—1); celle de la différence finie de ▲'.y. ou ▲3.y3, estu.(; — 1)°3; d'où l'on peut généralement conclure la fonction génératrice de la différence finie ▲'.y, est u.(;—1). que en nommant donc v.y, cette quantité, sa fonction génératrice sera Si l'on nomme vy, ce que devient v.y, lorsqu'on y change yz dans v.y; si l'on nomme pareillement v3y, ce que devient vys lorsqu'on y change v.y. dans v'.ya, et ainsi de suite; leurs fonctions génératrices correspondantes seront De là il est facile de conclure généralement que la fonction génératrice de A.'.y+; est I 7 · (a + + · · · ··· + 2 )'. ( − 1 )'. On peut généraliser encore ces résultats, en supposant que v.Ya |