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D'où vient cette différence entre le résultat du calcul, et l'indica-
tion du sens commun? On reconnut bientôt, qu'elle tenait à ce
que l'avantage moral qu’un bien nous procure, n'est pas propor-
tionnel à ce bien, et qu'il dépend de mille circonstances souvent
très-difficiles à définir, mais dont la plus générale et la plus im-
portante est celle de la fortune. En effet, il est visible qu'un franc
a beaucoup plus de prix pour celui qui n'en a que cent, que pour
un millionnaire. On doit donc dans le bien espéré, distinguer sa
valeur absolue, de sa valeur relative. Celle-ci se règle sur les motifs
qui le font desirer; au lieu que la première en est indépendante.
On ne peut pas donner de principe général, pour apprécier cette
valeur relative. En voici cependant un proposé par Daniel Bernoulli,
et qui peut servir dans beaucoup de cas. La valeur relative d'une Xe Principe.
somme infiniment petite, est égale à sa valeur absolue divisée

par
le bien total de la personne intéressée. Cela suppose que tout
homme a un bien quelconque dont la valeur ne peut jamais être
supposée nulle. En effet, celui même qui ne possède rien, donne
toujours à son existence, une valeur au moins égale à ce qui lui
est rigoureusement nécessaire pour vivre.

Si l'on applique l'analyse, au principe que nous venons d'exposer ; on obtient la règle suivante.

En désignant par l'unité, la partie de la fortune d'un individu, indépendante de ses expectatives ; si l'on détermine les diverses valeurs que cette fortune peut recevoir en vertu de ces expectatives, et leurs probabilités; le produit de ees valeurs élevées respectivement aux puissances indiquées par ces probabilités, sera la fortune physique qui procurerait à l'individu, le même avantage moral qu'il reçoit de la partie de sa fortune, prise pour unité, et de ses expectatives; en retranchant donc l'unité, de ce produit; la différence sera l'accroissement de la fortune physique, dû aux expectatives : nous nommerons cet accroissement, espérance morale. Il est facile de voir qu'elle coincide avec l'espérance mathématique, lorsque la fortune prise pour unité, devient infinie par rapport aux variations qu'elle reçoit des expectatives. Mais lorsque ces variations sont une partie sensible de cette unité, les deux espérances peuvent différer très-sensiblement entre elles.

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Cette règle conduit à des résultats conformes aux indications du sens commun, que l'on peut à ce moyen, apprécier avec quelqu'exactitude. Ainsi dans la question précédente, on trouve que si la fortune de Paul est de deux cents francs, il ne doit pas raisonnablement mettre au jeu plus de neuf francs. La même règle. conduit encore à répartir le danger, sur plusieurs parties d’un bien que l'on espère, plutôt que de l'exposer tout entier au même danger. Il en résulte pareillement, qu'au jeu le plus égal, la perte est toujours relativement plus grande que le gain; car le produit de la fortune prise pour unité, augmentée du gain et élevée à une puis, sance égale à la probabilité du gain, par cette unité diminuée de la perte, et élevée à une puissance égale à la probabilité de la perte, est toujours moindre que la fortune du joueur avant sa mise au jeu. En supposant par exemple, cette fortune, de cent francs, et que le joueur en expose cinquante au jeu de croix et pile; sa fortune après sa mise au jeu, peut - être en vertu de son expectative, ou de cent cinquante francs, ou seulement de cinquante; la probabilité de chacun de ces deux cas est }; cette fortune est donc par la règle précédente, égale à la racine carrée du produit de cent cinquante, par cinquante; elle est ainsi réduite à quatre-vingt-sept francs, c'est-à-dire que cette dernière somme procurerait au joueur, le même avantage moral, que l'état de sa fortune après sa mise. Le jeu est donc désavantageux, dans le cas même où la mise est égale au produit de la somme espérée par sa probabilité. On peut juger par là de l'immoralité des jeux dans lesquels la somme espérée est au-dessous de ce produit. Ils ne subsistent que par les faux raisonnemens et la cupidité qu'ils fomentent, et qui portant le peuple à sacrifier son nécessaire, à des espérances chimériques dont il est hors d'état d'apprécier l'int vraisemblance, sont la source d'une infinité de maux.

Des Méthodes analytiques du Calcul des Probabilités.

L'application des principes que nous venons d'exposer, aux diverses questions de probabilité, exige des méthodes dont la recherche a donné naissance à plusieurs branches de l'analyse, et

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spécialement à la théorie des combinaisons, et au calcul des différences finies.

Si l'on forme le produit des binomes, l'unité plus une première lettre, l'unité plus une seconde lettre, l'unité plus une troisième lettre, et ainsi de suite jusqu'à n lettres; en retranchant l'unité de ce produit développé, on aura la somme des combinaisons de toutes ces lettres prises une à une, deux à deux, trois à trois , etc. : chaque combinaison aura pour coefficient, l'unité. Pour avoir le nombre des combinaisons de ces n lettres prises r à r, on observera que si on suppose les lettres égales entre elles, le produit précédent deviendra la puissance nième du binome, un plus la première lettre; et le nombre des combinaisons des n lettres prises r à r, sera le coefficient de la puissance pième de la première lettre, dans le développement de ce binome; on aura donc ce nombre, par la formule connue du binome.

Si l'on veut avoir égard à la situation respective des lettres, dans chaque combinaison; on doit observer qu'en joignant une seconde lettre à la première, on peut la placer au premier et au second rang; ce qui donne deux combinaisons. Si l'on joint à ces combinaisons, une troisième lettre; on peut lui donner dans chaque combinaison, le premier, le second et le troisième rang; ce qui forme trois combinaisons relatives à chacune des deux autres, en tout, six combinaisons. De là, il est aisé de conclure que le nombre des arrangemens différens que l'on peut donner à r lettres, est le produit des nombres depuis l'unité jusqu'à r. Il faut donc pour avoir égard à la situation respective des lettres, multiplier par ce produit, le nombre des combinaisons des n lettres prises r à r; ce qui revient à supprimer le dénominateur du coefficient du terme du binome, qui exprime ce nombre.

Supposons une loterie composée de n numéros, et qu'il en sorte r à chaque tirage; on demande la probabilité de la sortie de s numéros donnés, dans un tirage. Pour y parvenir, on déterminera d'abord le nombre des combinaisons des autres numéros pris r moins s, à r moins s; car il est clair qu'en ajoutant les s numéros donnés, à chacune de ces combinaisons, on aura la somme de toutes les combinaisons des n lettres prises ràr, et dans lesquelles les s numéros donnés

entrent. Si l'on divise ce nombre, par celui des combinaisons de toutes les lettres prises r à r; on aura la probabilité demandée. On trouve ainsi cette probabilité égale au rapport du nombre des combinaisons de r lettres prises s à s, au nombre des combinaisons de n lettres prises s à s.

On peut, d'après ce théorème, calculer les chances de la loteriede France, et en conclure ses bénéfices. Cette loterie est, comme on sait, composée de go. numéros, dont cinq sortent à chaque tirage. La probabilité de la sortie d'un extrait donné, est, en vertu de ce théorème, égale à ou ts; la loterie devrait donc alors pour l'égalité du jeu, rendre dix-huit fois la mise. Le nombre total des combinaisons deux à deux, de go numéros est 4005, et il en sort dix à chaque tirage; ainsi la probabilité de la sortie d'un ambe donné est dos; la loterie devrait donc pour un ambe sorti, rendre quatre cents fois et demie, la mise. On trouve pareillement qu'elle devrait rendre la mise, 11848 fois pour un terne, 511038 fois pour un quaterne, et 43949268 fois pour un quine. La loterie est loin de faire ces avantages aux joueurs.

Supposons encore dans une urne, n boules que l'on puisse également extraire une à une, deux à deux, ou trois à trois, etc.; on a fait une de ces extractions, et l'on demande la probabilité que le nombre des boules extraites est impair. Il suit de ce qui précède, que si l'on élève le binome, un plus un, à la puissance n; les second, troisième, etc., termes exprimeront les nombres des combinaisons des n boules, prises une à une, deux à deux, etc.; ainsi la totalité des combinaisons sera la puissance nième de deux, moins l'unité : la somme des second, quatrième, sixième, etc. termes du développement du binome, sera le nombre des combinaisons impaires : elle sera visiblement, la moitié de la différence des nièmes puissances des binomes, un plus un, et un moins un; ou la moitié de la nième puissance de deux. En retranchant l'unité de cette différence, on aura le nombre des combinaisons paires; et en divisant ces deux nombres de combinaisons, par leur somme; on aura les probabilités, respectives des combinaisons impaires et paires. On voit ainsi qu'il y a de l'avantage à parier plutôt pour un nombre impair de boales extraites, que pour un nombre pair.

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Mais la méthode la plus générale et la plus directe de résoudre les questions de probabilité, consiste à les faire dépendre d’équations aux différences. En comparant les états consécutifs de la fonction des variables, qui exprime la probabilité, lorsqu'on fait croître ces variables, de leurs différences respectives; la question proposée fournit le plus souvent, un rapport très - simple entre les divers états de cette fonction. Ce rapport est ce que l'on nomme équation aux différences ordinaires ou partielles; ordinaires , lorsqu'il n'y a qu'une variable; partielles, lorsqu'il y en a plusieurs. Donnons en quelques exemples.

Trois joueurs dont les forces sont supposées les mêmes, jouent ensemble aux conditions suivantes. Celui des deux premiers joueurs qui gagne son adversaire, joue avec le troisième, et s'il le gagne, la partie est finie. S'il est vaincu, le vainqueur joue avec l'autre , et ainsi de suite, jusqu'à ce que l'un des joueurs ait gagné consécutivement les deux autres; ce qui termine la partie. On demande la probabilité que cette partie sera finie dans un nombre donné de coups. Cherchons d'abord la probabilité qu'elle finira précisément à un coup déterminé, par exemple, au dixième coup. Pour cela, le joueur qui la gagne, doit entrer au jeu au neuvième coup, et le gagner ainsi que le coup suivant. Mais si au lieu de gagner le neuvième coup,

il était vaincu par son adversaire; comme celui-ci a déjà gagné l'autre joueur, la partie finirait à ce coup; ainsi la probabilité qu'un joueur entrera au jeu au neuvième coup, et le gagnera, est égale à celle que la partie finira précisément à ce coup; et comme ce joueur doit gagner le coup suivant, pour que la partie se termine au dixième coup, cette dernière probabilité ne sera qu'un demi de la précédente. Il suit de la que si l'on considère cette probabilité, comme une fonction du numéro du coup auquel elle doit finir; cette fonction sera la moitié de la même fonction dans laquelle on a diminué le numéro ou la variable, d'une unité. Cette égalité forme une de ces équations que l'on nomme équations aux différences finies ordinaires.

On peut déterminer facilement à son moyen , la probabilité que la partie finira précisément à un coup quelconque. Il est visible que la partie ne peut finir au plutôt, qu'au second coup; et pour cela,

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