Sivut kuvina
PDF
ePub

il est nécessaire que celui des deux premiers joueurs qui gagne son adversaire, gagne au second coup, le troisième joueur. Ainsi la probabilité que la partie finira à ce coup, est . De là, en vertu de l'équation précédente, on conclut que les probabilités successives de la fin de la partie, sont pour le troisième coup, s pour le quatrième, etc., et généralement élevé à une puissance moindre de l'unité, que le numéro du coup. Maintenant, si l'on prend la somme de toutes ces puissances, depuis la première jusqu'à cette dernière inclusivement; on aura la probabilité que la partie sera terminée dans le nombre de coups indiqué par ce numéro, égale à l'unité moins la dernière de ces puissances de :

Considérons encore le premier problème que l'on ait résolu sur les probabilités, et que Pascal proposa de résoudre à Fermat. Deux joueurs A et B, dont les adresses sont égales, jouent ensemble à cette condition que celui qui le premier aura vaincu l'autre un nombre conné de fois, gagnera la partie, et emportera la somme des mises au jeu. Après quelques coups, les joueurs conviennent de se retirer sans avoir terminé la partie ; on demande de quelle manière ils doivent se partager cette somme. Il est visible que

leurs parts doivent être proportionnelles à leurs probabilités respectives de gagner la partie ; la question se réduit donc à déterminer ces probabilités. Elles dependent évidemment des nombres de points qui manquent à chaque joueur, pour atteindre le nombre donné; ainsi la probabilité de A est une fonction de ces deux nombres que nous regarderons comme autant de variables. Si les deux joueurs convenaient de jouer un coup de plus ( convention qui ne change en rien leur sort); ou A le gagnerait, et alors le nombre des points qui lui manque, serait diminué d'une unité; ou le joueur B gagnerait ce nouveau coup, et alors le nombre des points qui manquent à ce dernier joueur, serait diminué d'une unité; mais la probabilité de chacun de ces cas est ; la fonction cherchée est donc égale à la moitié de cette fonction dans laquelle on diminue d'une unité, la première variable, plus à la moitié de la même fonction dans laquelle on diminue la seconde variable, d'une unité. Cette égalité est une de ces équations que l'on nomme équations aux différences partielles.

On peut déterminer à son moyen , les probabilités de A, en partant des plus petits nombres, et en observant que la probabilité ou la fonction qui l'exprime est égale à l'unité, lorsqu'il ne manque aucun point au joueur A, ou lorsque la première variable est nulle; et que cette fonction devient nulle avec la seconde variable. En supposant ainsi qu'il ne manque qu'un point au joueur A, on trouve que sa probabilité est ;, , Z, etc. , suivant qu'il manque à B, un point, ou deux, ou trois , etc. Généralement, elle est alors égale à l'unité, moins élevé à une puissance égale au nombre des points qui manquent à B. On supposera ensuite qu'il manque deux points au joueur A, et l'on trouvera sa probabilité égale à , ,

, etc., suivant qu'il manque à B, un point, ou deux, ou trois, etc. On supposera encore qu'il manque trois points au joueur A, et ainsi de suite.

Cette manière d'obtenir les valeurs successives d'une quantité, au moyen de son équation aux différences, est longue et pénible; et les géomètres ont cherché des méthodes pour avoir la fonction générale des variables qui satisfait à cette équation, ensorte que Pon n'ait besoin pour chaque cas particulier, que de substituer dans cette fonction, les valeurs correspondantes des variables : c'est Pobjet du Calcul intégral. Parmi les méthodes imaginées pour y parvenir, celle qui me paraît la plus générale et la plus simple, est fondée sur la considération des fonctions génératrices dont voici l'idée.

Si l'on conçoit une fonction A d'une variable, développée dans une série ascendante par rapport aux puissances de cette variable; le coefficient de l'une quelconque de ces puissances sera fonction de l'indice ou exposant de cette puissance. A est ce que je nomme fonction génératrice de ce coefficient, ou de la fonction de l'indice.

Maintenant, si l'on multiplie la série A, par une fonction linéaire de la variable, telle, par exemple, que l'unité plus deux fois cette variable; le produit sera une nouvelle fonction génératrice dans laquelle le coefficient d'une puissance quelconque de la variable, sera égal au coefficient de la même puissance dans A, plus au double du coefficient de la puissance inférieure d'une unité. Ainsi la fonction de l'indice dans le produit, égalera la fonction de l'indice dans A,

plus le double de cette même fonction dans laquelle l'indice est diminué de l'unité. Cette fonction de l'indice dans le développement du produit, peut ainsi être envisagée, comme une dérivée de la fonction de l'indice dans A, dérivée que l'on peut exprimer par une caractéristique placée devant cette dernière fonction. La dérivation indiquée par la caractéristique, dépend de la fonction multiplicateur, que nous désignerons généralement par B, et que nous supposerons développée comme A, par rapport aux puissances de la variable.

Si l'on multiplie de nouveau par B, le produit de A par B, ce qui revient à multiplier A par le carré de B; on formera une troisième fonction génératrice dans laquelle le coefficient d'une puissance quelconque de la variable, sera une dérivée semblable du coefficient correspondant dans le premier produit; on pourra donc l'exprimer par la même caractéristique placée devant la dérivée précédente, et alors cette caractéristique sera deux fois écrite devant le coefficient correspondant dans la série A; mais au lieu de l'écrire ainsi deux fois, on lui donne pour exposant, le nombre deux.

En continuant de cette manière, on voit généralement que si l'on multiplie A par une puissance pième de B; on aura le coefficient d'une puissance quelconque de la variable dans le produit, en plaçant devant le coefficient correspondant de A, la caractéristique avec n pour exposant. Supposons que B soit l'unité divisée

par la variable; alors dans le produit de A par B, le coefficient d'une puissance de la variable, sera le coefficient de la puissance supérieure d'une unité dans A; d'où il suit que dans le produit de A par la puissance pième de B, ce coefficient sera celui de la puissance supérieure d'un nombre n d'unités dans A.

Si B est égal à, moins un plus l'unité divisée par la variable; alors dans le produit de A par B, le coefficient de la variable sera le coefficient de la puissance supérieure d'une unité dans A, moins le coefficient de cette puissance; il sera donc la différence finie de ce dernier coefficient dans lequel on fait varier l'indice, de l'unité. Ainsi dans le produit de A par la puissance nième de B, le coefficient sera la différence nième du coefficient correspondant dans A.

B étant une fonction de la variable, et C étant une autre fonction

de la même variable; on pourra considérer B, comme une fonction de C, développée dans une série ordonnée par rapport aux puissances de C; le produit de A par cette série, sera donc identiquement égal au produit de A par B; et les coefficiens d'une même puissance de la variable , seront identiquement égaux dans ces deux produits. Mais le premier de ces coefficiens est formé d'une suite de termes correspondans aux produits de A par les diverses puissances de C. Dans le produit de A par C, ce coefficient est une nouvelle dérivée du coefficient correspondant dans A, dérivée que nous exprimerons par une nouvelle caractéristique placée devant ce dernier coefficient. En changeant donc les diverses puissances de C, dans cette nouvelle caractéristique affectée d'exposans égaux à ceux de ces puissances, et placée devant le coefficient correspondant de A; en multipliant ensuite par ce coefficient, le terme indépendant de C, dans la série précédente; on aura le coefficient relatif au produit de A, par le développement de B, suivant les puissances de C. Si l'on égale ce coefficient, à celui qui est relatif au produit de A par B, et qui est exprimé par la première caractéristique placée devant le coefficient correspondant de A; on aura l'expression de la dérivée indiquée par cette caractéristique, dans une série ordonnée suivant les exposans de la nouvelle caractéristique. On voit que pour former cette série, c'est-à-dire pour repasser des fonctions génératrices à leurs coefficiens, il suffit de substituer dans B considéré comme fonction de C, la nouvelle caractéristique, à la place de C; de développer ensuite B, dans une série ordonnée par rapport aux puissances de cette caractéristique; enfin d'écrire le coefficient d'une puissance indéterminée de la variable dans A, à la suite de chaque puissance de la caractéristique, et après le premier terme de la série. Ainsi ce coefficient étant une fonction quelconque de l'indice de la puissance de la variable; la transformation d'une dérivée de cette fonction, indiquée par une première caractéristique, dans une série ordonnée par rapport aux exposans successifs de la caractéristique d'une nouvelle dérivée de la même fonction, se réduit aux opérations algébriques du développement des fonctions en séries.

Si l'on suppose B égal à l'unité divisée par la variable, et Cégal

à cette fraction moins un; B sera égal à l'unité plus C, et le produit de A par la nième puissance de B, sera égal au produit de A par le développement de la puissance pième du binome, un plus C; or le coefficient d'une puissance quelconque de la variable, dans le produit de A par B élevé à la nième puissance, est, comme on la yu, le coefficient de la puissance supérieure de n unités, dans A; et ce même coefficient dans le produit de A par une puissance de C, est la différence du même ordre, du coefficient correspondant dans A; une fonction quelconque de l'indice augmenté de n, est donc égale aux coefficiens des termes du développement de la puissance nième du binome, multipliés respectivement par la fonction elle-même, et ses différences successives; ce qui donne l'interpolation des séries, au moyen des différences de leurs termes successifs.

B étant toujours supposé égal à l'unité divisée par la variable et C étant une fonction quelconque de cette variable ; C sera la même fonction du quotient de l'unité divisée par B. Si de là on tire l'expression de la puissance pième de B, dans une série développée suivant les puissances de C; on aura en repassant des fonctions génératrices aux coefficiens, une fonction quelconque de l'indice augmenté de n, égale à une série dont le premier terme sera le premier terme de la série précédente, multiplié par la fonction elle-même; et dont les suivans seront ceux de la même série, dans lesquels, au lieu des puissances de C, on écrit les mêmes puissances de la caractéristique relative à C, suivies de la fonction. Si l'on suppose un des termes de cette nouvelle série, égal à zéro; tous les termes suivans seront nuls, et la somme des termes précédens sera l'intégrale complète de l'équation aux différences, indiquée par cette égalité. On a ainsi la méthode la plus simple d’intégrer ce genre d'équations.

Concevons présentement que A soit une fonction de deux variables, (ce que nous allons dire, s'étend à un nombre quelconque de variables ). En la développant dans une série ordonnée par rapport aux puissances de ces variables, et à leurs produits; le coefficient du produit de deux puissances quelconques dans ce développement, sera une fonction des indices de ces puissances, dont A sera la fonction génératrice.

« EdellinenJatka »