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Si l'on multiplie A par une autre fonction B de ces deux variables; le coefficient des deux mêmes puissances dans le produit, sera une fonction dérivée du coefficient précédent , dérivée que l'on pourra exprimer par une caractéristique placée devant ce coefficient. On verra, comme ci-dessus, que le coefficient correspondant, dans le produit de A par une puissance quelconque de B, sera exprimé par cette caractéristique, toujours placée devant le coefficient relatif à A, et à laquelle on donne pour exposant, celui de la puissance de B. De là résultent des théorèmes analogues à ceux qui sont relatifs à une seule variable. On pourra développer d'une manière semblable, une fonction quelconque de deux indices augmentés respectivement des nombres n et n', dans une série ordonnée par rapport aux puissances d'une caractéristique, placées devant la fonction sans accroissement d’indices; et dont le premier terme est cette fonction elle-même. Si l'un des termes de cette série, est égal à zéro; tous les termes suivans le seront pareillement, et la somme des termes précédens, sera l'intégrale de l'équation aux différences finies partielles, donnée par cette égalité.

Il existe toujours une fonction des variables, telle qu'en la développant en série, les coefficiens des produits de leurs puissances ont entre eux, la relation donnée par une équation aux différences partielles. Cette fonction que j'ai nommée fonction génératrice de l'équation proposée, est souvent facile à obtenir; toutes les manières de la développer en série, donneront l'intégrale de cette équation, sous des formes diverses plus ou moins commodes selon les circonstances.

Si l'on a une série ordonnée par rapport aux puissances d'une variable, et telle que le coefficient de chaque puissance soit, par exemple, la moitié du coefficient de la puissance précédente; on pourra concevoir l'intervalle des deux premiers termes, rempli d'une infinité de termes dans lesquels les puissances de la variable croîtront par degrés infiniment petits, depuis zéro jusqu'à l'unité, et auront des coefficiens arbitraires. Les interyalles des termes consécutifs suivans, seront pareillement remplis d'une infinité d'autres termes, mais dépendans des premiers, de manière que le coellicient d'une puissance de la variable, soit la moitié du coeffi

cient de la puissance moindre d'une unité. Le plus communément, on suppose les intervalles des premiers termes de chaque série, remplis par des ordonnées paraboliques; alors les autres intervalles sont remplis d'ordonnées semblables, liées aux précédentes, par la loi générale de la série qui renferme ainsi toutes les puissances entières et fractionnaires de la variable.

Supposons maintenant que A soit une série semblable, et que B soit égal à, moins un plus l'unité divisée par une puissance i entière ou fractionnaire de la variable. En représentant par, un plus C, l'unité divisée par la variable; B sera égal à la quantité suivante, moins un plus la puissance i du binome un plus C. Si l'on multiplie par A, la puissance nième de cette quantité; on aura le produit de A par la puissance nième de B. Si l'on développe ces puissances; on repassera des fonctions génératrices, aux coefficiens, 1° en changeant la puissance nième de B, multipliée par A, dans la différence mième de la fonction de l'indice, relative à A, i étant l'accroissement de l'indice; 2° en changeant pareillement le produit de A par une puissance de C d'un ordre quelconque, dans une différence du même ordre, de la même fonction de l'indice, l'unité étant l'accroissement de l'indice. On aura donc la différence pième d'une fonction quelconque de l'indice dont i est l'accroissement, exprimée par une série des différences de la même fonction, dans lesquelles l'unité est l'accroissement de l'indice. On peut ainsi transformer la caractéristique relative à un accroissement de l'indice, dans une série de caractéristiques relatives à un autre accroissement.

On voit dans tout ce qui précède, que les opérations algébriques relatives aux transformations des fonctions, se transportent aux caractéristiques, en leur donnant pour exposans, ceux des quantités qui leur correspondent. Cette analogie remarquable et féconde des puissances et des caractéristiques, avait été

aperçue par Leibnitz dans les expressions différentielles. Lagrange, en suivant cet aperçu de Leibnitz dans tous ses développemens, en a tiré des formules aussi curieuses qu’utiles pour l'analyse, mais sans en donner les démonstrations qu'il regardait comme difficiles. La théorie des fonctions génératrices ne laisse rien à desirer à cet égard, et de plus elle étend à des caractéristiques quelconques, l'analogie que ces

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deux grands géomètres n'avaient observée que relativement aux puissances et aux différences.

Si l'on suppose les accroissemens des indices, infiniment petits ; les résultats relatifs à leurs accroissemens finis, subsisteront toujours, et se simplifieront en rejetant les infiniment petits d'un ordre supérieur à celui que l'on conserve. Ces passages du fini à l'infiniment petit, ont l'avantage d'éclairer les points délicats de l'analyse infinitésimale, qui ont été l'objet de grandes discussions parmi les géomètres. C'est ainsi que j'ai démontré la possibilité d'introduire des fonctions discontinues, dans les intégrales des équations aux différentielles partielles; pourvu que la discontinuité n'ait lieu que pour les différentielles des fonctions, de l'ordre de ces équations. Les résultats transcendans du calcul sont, comme toutes les abstractions de l'entendement, des signes généraux dont on ne peut connaître la véritable étendue, qu'en remontant par l'analyse métaphysique, aux idées élémentaires qui y ont conduit; ce qui présente souvent de grandes difficultés; car l'esprit humain en éprouve moins encore à se porter en avant, qu'à se replier sur lui-même.

Le passage du fini à l'infiniment petit, répand un grand jour sur la métaphysique du calcul différentiel. On voit clairement par ce passage, que ce calcul n'est que la comparaison des coefficiens des mêmes puissances des différentielles, dans le développement en série, des fonctions des indices augmentés respectivement de différentielles indéterminées. Les quantités que l'on néglige comme étant d'un ordre d'infiniment petits, supérieur à celui que l'on conserve, et qui semblent par cette omission , ôter à ce calcul la rigueur de l'algèbre, ne sont que des puissances des différentielles, d'un ordre supérieur à celui des puissances dont on compare les coefficiens, et qui par là, doivent être rejetées de cette comparaison; ensorte que le calcul différentiel a toute l'exactitude des autres opérations algébriques. Mais dans ses applications à la géométrie et à la mécanique, il est indispensable d'introduire le principe des limites. Par exemple, la soutangente d'une courbe étant la limite géométrique de la sousecante, ou la ligne dont celle-ci approche sans cesse, à mesure que les points d'intersection de la sécante

et de la courbe se rapprochent; l'expression analytique de la soutangente, doit être pareillement la limite de l'expression analytique de la sousecante; elle est, par conséquent, égale au premier terme de cette dernière expression développée suivant les puissances de l'intervalle qui sépare les deux points d'intersection.

On peut encore envisager la tangente, comme la droite dont l'équation approche le plus de celle de la courbe, près du point de contingence. L'ordonnée de cette courbe, étant une fonction de l'abscisse; si à partir de ce point, on fait croître l'abscisse, d'une quantité indéterminée, et qu'on développe la fonction suivant les puissances de cette indéterminée; il est visible que la somme des deux premiers termes de ce développement, sera l'ordonnée de la droite la plus approchante de la courbe; conséquemment, elle sera l'ordonnée de la tangente : le coefficient de l'indéterminée dans le second terme, exprimera le rapport de l'ordonnée à la soutangente. Il est facile de prouver par le principe des limites, que toute autre droite menée par le point de contingence, entrerait dans la courbe près de ce point.

Cette manière singulièrement heureuse de parvenir à l'expression des soutangentes, est due à Fermat qui l'a étendue aux courbes transcendantes. Ce grand géomètre esprime par la caractéristique E, l'accroissement de l'abscisse; et en ne considérant que la première puissance de cet accroissement, il détermine exactement comme on le fait par le calcul différentiel, les soutangentes des courbes, leurs points d'inflexion, les maxima et minima de leurs ordonnées et généralement des fonctions rationnelles, et les centres de gravité des solides de révolution. On voit même par sa belle solution du problème de la réfraction de la lumière, en supposant qu'elle parvient d'un point à un autre dans le temps le plus court, et qu'elle se meut dans les divers milieux diaphanes avec différentes vitesses, on voit, dis-je, qu'il savait étendre så méthode, aux fonctions irrationnelles, en se débarrassant des irrationnalités, par l'élévation des radicaux aux puissances. On doit donc regarder Fermat, comme le véritable inventeur du calcul différentiel. Newton a depuis rendu ce calcul, plus analytique, dans sa Méthode des Fluxions; et il en a simplifié et généralisé les procédés, par son beau

théorème du binome. Enfin presqu'en même temps, Leibnitza enrichi le calcul différentiel, d'une notation qui en indiquant le passage du fini à l'infiniment petit, réunit à l'avantage d'exprimer les résultats rigoureux de ce calcul, celui de donner les premières valeurs approchées des différences et des sommes des quantités; notation qui s'est adaptée d'elle-même au calcul des différentielles partielles. La langue de l'analyse, la plus parfaite de toutes les langues, étant par ellemême, un puissant instrument de découvertes; ses notations, lorsqu'elles sont nécessaires et heureusement imaginées, sont des germes de nouveaux calculs. Ainsi, la simple idée qu'eut Descartes, d'indiquer les puissances représentées par des lettres, en écrivant vers le haut de ces lettres, les nombres qui expriment les degrés de ces puissances, a donné naissance au calcul exponentiel ; et Leibnitz a été conduit par sa notation, à l'analogie singulière des puissances et des différentielles. Le calcul des fonctions génératrices, qui , comme on la vu, donne la véritable origine de cette analogie, offre tant d'exemples de ce transport des puissances aux caractéristiques, qu'il peut encore être envisagé comme le calcul exponentiel des caractéristiques.

On est souvent conduit à des expressions qui contiennent tant de termes et de facteurs, que les substitutions numériques y sont impraticables. C'est ce qui a lieu dans les questions de probabilité, lorsque l'on considère un grand nombre d'événemens. Cependant il importe alors d'avoir la valeur numérique des formules, pour connaître avec quelle probabilité, les résultats que les événemens développent en se multipliant, sont indiqués. Il importe surtout d'avoir la loi suivant laquelle cette probabilité approche sans cesse de la certitude qu'elle finirait par atteindre, si le nombre des événemens devenait infini. Pour y parvenir, je considérai que les intégrales définies de différentielles multipliées par des facteurs élevés à de grandes puissances, donnaient par l'intégration, des formules composées d'un grand nombre de termes et de facteurs. Cette remarque me fit naître l'idée de transformer dans de semblables intégrales, les expressions compliquées de l'analyse et les intégrales des équations aux différences. Je remplis cet objet par une méthode qui donne à-la-fois, la fonction comprise sous le signe inté

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