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gral, et les limites de l'intégration. Elle offre cela de remarquable, savoir, que cette fonction est la fonction même génératrice des expressions et des équations proposées; ce qui rattache cette méthode, à la théorie des fonctions génératrices dont elle est le complément. Il ne s'agissait plus ensuite que de réduire l'intégrale définie, en série convergente. C'est ce que j'obtins par un procédé qui fait converger la série, avec d'autant plus de rapidité, que la formule qu'elle représente est plus compliquée; ensorte qu'il est d'autant plus exact, qu'il devient plus nécessaire. Le plus souvent, la série a pour facteur, la racine carrée du rapport de la circonférence au diamètre: quelquefois elle dépend d'autres transcendantes dont le nombre est infini.

Une remarque importante, qui tient à la grande généralité de l'analyse, et qui permet d'étendre cette méthode, aux formules et aux équations aux différences, que la théorie des probabilités présente le plus fréquemment, est que les séries auxquelles on parvient, en supposant réelles et positives, les limites des intégrales définies, ont également lieu dans le cas où l'équation qui détermine ces limites , n'a que des racines négatives ou imaginaires. Ces pas sages du positif au négatif, et du réel à l'imaginaire, dont j'ai fait le premier usage, m'ont conduit encore aux valeurs de plusieurs intégrales définies singulières, que j'ai trouvées ensuite directement. On peut donc considérer ces passages, comme des moyens de découvertes, pareils à l'induction et à l'analogie employées depuis long-temps par les géomètres, d'abord avec une extrême réserve, ensuite avec une entière confiance; un grand nombre d'exemples en ayant justifié l'emploi. Cependant il est toujours utile de confirmer par des démonstrations directes, les résultats obtenus par ces divers moyens.

J'ai nommé calcul des fonctions génératrices , l'ensemble des méthodes précédentes : ce calcul sert de fondement à la théorie que je viens de publier sur les probabilités.

APPLICATIONS DU CALCUL DES PROBABILITÉS.

Des Jeux.

Les combinaisons que les jeux présentent, ont été l'objet des premières recherches sur les probabilités. Dans l'infinie variété de ces combinaisons, plusieurs d'entre elles se prêtent avec facilité au calcul : d'autres exigent des calculs plus difficiles; et les difficultés croissant à mesure que les combinaisons deviennent plus compliquées, le desir de les surmonter et la curiosité ont excité les géomètres à perfectionner de plus en plus, ce genre d'analyse. On a vu précédemment que l'on pouvait facilement déterminer par la théorie des combinaisons, les bénéfices d'une loterie. Mais il est plus difficile de savoir en combien de tirages on peut parier un contre un, par exemple, que tous les numéros seront sortis. n étant le nombre des numéros, r celui des numéros sortans à chaque tirage, et i le nombre inconnu de tirages; l'expression de la probabilité de la sortie de tous les numéros, dépend de la différence finie nième de la puissance i du produit de r nombres consécutifs. Lorsque le nombre n est considérable, la recherche de la valeur de i, qui rend cette probabilité égale à ș, devient impossible, à moins qu'on ne convertisse cette différence, dans une série très-convergente. C'est ce que l'on fait heureusement par la méthode ci-dessus indiquée, pour les approximations des fonctions de très-grands nombres. On trouve ainsi que la loterie étant composée de dix mille numéros dont un seul sort à chaque tirage; il y a du désavantage à parier un contre un, que tous les numéros sortiront dans 95767 tirages, et de l'avantage à faire le même pari pour 95768 tirages. A la loterie de France, ce pari est désavantageux pour 85 tirages, et avantageux pour 86 tirages.

Considérons encore deux joueurs A et B jouant ensemble à croix et pile, de manière qu'à chaque coup, si croix arrive, A donne un jeton à B qui lui en donne un si pile arrive; le nombre des jetons de B est limité : celui des jetons de A est illimité; et la partie ne doit finir que lorsque B n'aura plus de jetons. On demande

en combien de coups, on peut parier un contre un, que la partie sera terminée. L'expression de la probabilité que la partie sera terminée dans un nombre i de coups, est donnée par une suite qui renferme un grand nombre de termes et de facteurs, si le nombre des jetons de B est considérable; la recherche de la valeur de l'inconnue i, qui rend cette suite égale à ý, serait donc alors impossible, si l'on ne parvenait pas à réduire la suite dans une série très-convergente. En lui appliquant la méthode dont on vient de parler, on trouve une expression fort simple de l'inconnue, de laquelle il résulte que si, par exemple, B a cent jetons; il y a un peu moins d'un contre un à parier que la partie sera finie en 23780 coups, et un peu plus d'un contre un à parier qu'elle sera finie dans 23781 coups.

Ces deux exemples joints à ceux que nous avons déjà donnés, suffisent pour faire voir comment les problèmes sur les jeux ont pu contribuer à la perfection de l'analyse.

Des inégalités inconnues qui peuvent exister entre des chances

que
Роп

suppose égales.

Les inégalités de ce genre ont sur les résultats du calcul des probabilités, une influence sensible qui mérite une attention particulière. Considérons le jeu de croix et pile, et supposons qu'il soit également facile d'amener l'une ou l'autre face de la pièce. Alors la probabilité d'amener croix au premier coup est , et celle de lamener deux fois de suite, est . Mais s'il existe dans la pièce, une inégalité qui fasse paraître une des faces plutôt que l'autre, sans que l'on connaisse quelle est la face favorisée par cette inégalité; la probabilité d'amener croix au premier coup sera toujours ; parce que dans l'ignorance où l'on est de la face que cette inégalité favorise, autant la probabilité de l'événement simple est augmentée, si cette inégalité lui est favorable, autant elle est diminuée, si l'inégalité lui est contraire. Mais dans cette ignorance même, la probabilité d'amener croix deux fois de suite, est augmentée. En effet, cette probabilité est celle d'amener croix au premier coup, multipliée par la probabilité que l'ayant amené au

premier coup, on l'amènera au second; or son arrivée au premier coup est un motif de croire que l'inégalité de la pièce le favorise; l'inégalité inconnue augmente donc alors la probabilité d'amener croix au second coup ; elle accroît par conséquent le produit des deux probabilités. Pour soumettré cet objet au calcul, supposons que cette inégalité augmente d'un vingtième , la probabilité de l'événement simple qu'elle favorise. Si cet événement est croix, sa probabilité sera plus as ou é, et la probabilité de l'amener deux fois de suite sera le carré de ou . Si l'événement favorisé est pile, la probabilité de croix sera ; moins ao ou , et la probabilité de l'amener deux fois de suite sera ... Comme on n'a d'avance, aucune raison de croire que l'inégalité favorise l'un de ces événemens plutôt que l'autre; il est clair que pour avoir la probabilité de l'événement composé croix croix , il faut ajouter les deux probabilités précédentes, et prendre la moitié de leur somme; ce qui donne de pour cette probabilité qui surpasse ; de zoo, ou du carré de l'accroissement que l'inégalité ajoute à la possibilité de l'événement qu'elle favorise. La probabilité d'amener pile pile est pareillement 406; mais les probabilités d'amener croix pile ou pile croix ne sont chacune, que no ; car la somme de ces quatre probabilités, doit égaler la certitude ou l'unité. On trouve ainsi généralement que les causes constantes et inconnues qui favorisent les événemens simples que l'on juge également possibles, accroissent toujours la probabilité de la répétition d'un même événement simple.

La probabilité d'amener croix ou pile, deux fois en deux coups, est , si les probabilités des deux faces sont égales. Mais s'il existe entre elles, une inégalité, ensorte que la probabilité de l'une d'elles soit, par exemple, to, la probabilité de l'autre sera %; la probabilité de croix croix, ou de pile pile sera la somme des carrés de met , quelle que soit la face favorisée par l'inégalité inconnue. Cette somme est .. ou plus jóo; la probabilité d'amener croix ou pile deux fois en deux coups, est donc accrue par cette inégalité. En général, l'inégalité inconnue favorise celui qui parie d'amener croix ou pile, un nombre pair de fois dans un nombre

coups: elle est défavorable au joueur qui parie de les amener un nombre impair de fois.

pair de

Deux joueurs dont on suppose les adresses égales, jouent avec les conditions qu'à chaque coup, celui qui perd, donne un jeton à son adversaire, et que la partie dure, jusqu'à ce que l'un des joueurs n'ait plus de jetons. Le calcul des probabilités nous montre que pour l'égalité du jeu, les mises des joueurs doivent être en raison inverse de leurs jetons. Mais s'il existe entre leurs adresses, une petite inégalité inconnue; elle favorise celui des joueurs qui a le plus petit nombre de jetons. Sa probabilité de gagner la partie augmente, si les joueurs conviennent de doubler, de tripler leurs jetons; et elle devient ou la même que la probabilité de l'autre joueur, dans le cas où les nombres de leurs jetons deviendraient infinis, en conservant toujours le même rapport.

On peut corriger l'influence de ces inégalités inconnues, en les soumettant elles-mêmes aux chances du hasard. Ainsi au jeu de croix et pile, și l'on a une seconde pièce que l'on projette chaque fois avec la première, et que l'on convienne de nommer constamment croix, la face amenée par cette seconde pièce; la probabilité d'amener croix deux fois de suite, avec la première pièce, approchera beaucoup plus d'un quart, que dans le cas d'une seule pièce. Dans ce dernier cas, la différence est le carré du petit accroissement de possibilité que l'inégalité inconnue donne à la face de la première pièce, qu'elle favorise : dans l'autre cas, cette différence est le quadruple produit de ce carré, par le carré correspondant, relatif à la seconde pièce.

Que l'on jette dans une urne, cent numéros depuis un jusqu'à cent, dans l'ordre de la numération, et qu'après avoir agité l'urne, pour méler ces numéros, on en tire un; il est clair que si le mélange a été bien fait, les probabilités de sortie des numéros, seront les mêmes. Mais si l'on craint qu'il n'y ait entre elles, de petites différences dépendantes de l'ordre suivant lequel les numéros ont été jetés dans l'urne; on diminuera considérablement ces différences, en jetant dans une seconde urne, ces numéros suivant leur ordre de sortie de la première urne, et en agitant ensuite cette seconde urne, pour mêler ces numéros. Une troisième urne, une quatrième, etc., diminueraient de plus en plus ces différences déjà insensibles dans la seconde urne,

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