lement, il est naturel d'admettre que les erreurs négatives sont aussi probables que les positives; il semble donc impossible d'évaluer cette erreur moyenne. Mais en déterminant par la même analyse, la somme des carrés des erreurs des observations; j'ai reconnu qu'elle a le même facteur. De là, j'ai conclu la règle suivante.

Si l'on prend les différences entre le résultat moyen de toutes les mesures, et chacune d'elles; l'erreur moyenne à craindre en plus ou en moins sur ce résultat, est une fraction dont le numérateur est la racine carrée de la somme des carrés de ces différences, et dont le dénominateur est le produit du nombre des mesures, par la racine carrée du rapport de la circonférence au rayon.

On a ainsi le résultat moyen le plus avantageux, et l'on peut en apprécier l'exactitude. Pour rapporter ensuite ce résultat, à la distance donnée; il suffit de le multiplier par le rapport inverse de cette distance, à celle d'où les mesures ont été prises.

Supposons maintenant que l'on ait pris ces mesures, à différentes distances; et que l'on veuille toujours en conclure la grandeur apparente du disque vu d'une distance donnée. Il est clair que l'erreur de chaque observation aura d'autant moins d'influence, que l'observation aura été faite plus près du disque; il est encore facile de voir que chaque mesure observée, moins son erreur, doit être égale à la grandeur que l'on cherche, multipliée par le rapport de la distance donnée, à la distance d'où la mesure a été prise. En considérant la grandeur cherchée, comme une inconnue; chaque mesure observée donnera une équation du premier degré dont le premier membre sera le produit de l'inconnue, par ce rapport, et dont le second membre sera la mesure observée moins son erreur. Si l'on ajoute toutes ces équations, leur ensemble formera une équation finale qui, en supposant nulle, la somme des erreurs de toutes les observations, donnera une valeur de l'inconnue, pour laquelle toutes les observations auront concouru, et qui par là, doit avoir une grande précision. C'est la règle que l'on suit communément; mais elle ne donne pas le résultat le plus avantageux, celui qui ne laisse à craindre que la plus petite erreur moyenne. Pour avoir ce résultat, on doit observer que toutes les manières

possibles de combiner les équations précédentes, afin d'obtenir une équation finale du premier degré, qui détermine l'inconnue, reviennent à les multiplier, chacune, par un facteur, et à les ajouter. ensuite sans avoir égard aux erreurs des observations. En prenant donc pour ces facteurs, des constantes arbitraires, et cherchant l'expression analytique de l'erreur moyenne du résultat donné par l'équation finale; il faut déterminer les constantes, ensorte que cette erreur soit un minimum. On trouve alors que chaque constante est égale au coefficient de l'inconnue, dans l'équation partielle qu'elle multiplie; la valeur de l'inconnue, donnée par l'équation finale, est ainsi exprimée par une fraction qui a pour numérateur, la somme des produits du coefficient de l'inconnue dans chaque équation partielle, par la mesure observée correspondante, et pour dénominateur, la somme des carrés de tous ces coefficiens. Si l'on prend ensuite les différences entre les mesures observées, et les produits successifs de ce résultat par les coefficiens de l'inconnue dans les équations partielles; l'erreur moyenne qu'il laisse encore à craindre, sera la racine carrée d'une fraction dont le numérateur est la somme des carrés de ces différences, et dont le dénominateur est le produit de ces trois quantités, savoir, le nombre des observations, la somme des carrés des coefficiens de l'inconnue, dans les équations partielles, et la circonférence dont le rayon est l'unité.

Il est facile de voir que si l'on élève au carré, l'expression de l'erreur de chaque mesure, tirée de l'équation partielle correspondante; si l'on rend ensuite, un minimum, la somme de ces carrés, en y faisant varier l'inconnue; l'équation du minimum donnera pour cette inconnue, la valeur précédente.

Dans un grand nombre de cas, et spécialement en astronomie, les élémens que l'on veut déterminer, sont déjà connus à fort peu près, et n'ont besoin que de légères corrections que l'on cherche à obtenir par des observations nombreuses et précises. Pour cela, on regarde chaque observation, comme une fonction des élémens. En substituant dans cette fonction, la valeur approchée de chaque élément, plus sa correction considérée comme une inconnue; en développant ensuite, la fonction, dans une série ordonnée par

rapport aux puissances et aux produits de ces inconnues, et négligeant, vu leur petitesse, ces carrés et ces produits; enfin, en égalant la série, à l'observation diminuée de son erreur; on forme une équation du premier degré entre ces inconnues. C'est ce que l'on nomme équation de condition. On combine ensuite ces équations de condition, de manière à les réduire à un nombre d'équations finales, égal à celui des inconnues. La résolution de ces équations donne les valeurs des inconnues, ou les corrections des divers élémens.

La manière la plus générale de former ces équations finales, consiste à multiplier chacune des équations de condition, par un facteur indéterminé : la somme de ces produits, en y supposant nul, tout ce qui est relatif aux erreurs des observations, donnera une première équation finale. Un second système de facteurs donnera une seconde équation finale, et ainsi des autres. L'analyse des fonctions génératrices donne l'expression de l'erreur moyenne à craindre sur la correction de chaque élément, obtenue par la résolution de ces équations finales. Si l'on détermine les facteurs, par la condition que chacune de ces expressions soit un minimum; on trouve que le premier système de facteurs est formé des coefficiens de la première inconnue, dans chaque équation de condition; que le second système est formé des coefficiens de la seconde inconnue, etc.; d'où il est racile de conclure que les corrections des élémens, les plus avantageuses, sont généralement, comme dans le cas d'une seule variable, celles que l'on obtient, lorsqu'on rend un minimum, la somme des carrés des erreurs de chaque observation, en y faisant varier successivement les corrections inconnues. Dans ce cas général, l'analyse donne l'expression de l'erreur moyenne à craindre encore sur chaque élément; mais quoique très-simple, cette expression ne peut pas être comprise sans le secours de l'algèbre.

Nous avons supposé fort grand, le nombre des observations; et la règle précédente est d'autant plus exacte, que ce nombre est plus considérable. Mais dans le cas même où il est petit, il paraît naturel d'employer la même règle qui dans tous les cas, offre un moyen simple d'obtenir sans tâtonnement, les corrections que Fon cherche à déterminer.

Cette règle peut servir encore à comparer la précision de diverses tables astronomiques d'un même astre. Ces tables peuvent toujours être supposées réduites à la même forme, et alors elles ne different que par les époques, les moyens mouvemens, et les coefficiens des argumens; car si l'une d'elles contient un argument qui ne se trouve point dans les autres, il est clair que cela revient à supposer nul dans celles-ci, le coefficient de cet argument. Maintenant, si pour rectifier ces tables, on les comparait à la totalité des bonnes observations; elles satisferaient, par ce qui précède, à la condition que la somme des carrés des erreurs qu'elles laisseraient encore subsister, soit un minimum; les tables qui comparées à un nombre considérable d'observations, approchent le plus, de cette condition, méritent donc la préférence,

Des Tables de mortalité, et des durées moyennes de la vie, des mariages et des associations quelconques.

La manière de former les tables de mortalité, est très-simple. On prend sur les registres des naissances et des morts, un grand nombre d'enfans que l'on suit pendant le cours de leur vie, en déterminant combien il en reste à la fin de chaque année de leur âge, et l'on écrit ce nombre vis-à-vis de l'année finissante. Mais comme dans les deux premières années de la vie, la mortalité est très-rapide; il faut pour plus d'exactitude, indiquer dans ce premier âge, le nombre des survivans à la fin de chaque demi-année.

Si l'on divise la somme des années de la vie de tous les individus inscrits dans une table de mortalité, par le nombre de ces individus, et si de ce quotient, on soustrait une demi-année; on aura la durée moyenne de la vie, que l'on trouve ainsi de vingt-huit ans et demi à peu près. Cette soustraction ne doit avoir lieu, que dans le cas où la table n'indique point le nombre des vivans à la fin de la première demi-année: elle est fondée sur ce que la mortalité pouvant être supposée uniformément répandue sur la première année; la partie de la durée moyenne de la vie, correspondante à cette année, n'est que la moitié de celle qui aurait lieu, si la mort ne frappait les individus qu'à la fin de l'année. La durée moyenne

de ce qui reste encore à vivre, lorsqu'on est parvenu à un âge quelconque, se détermine en faisant une somme des années qu'ont vécu au-delà de cet âge, tous les individus qui l'ont atteint; en la divisant par le nombre de ces individus, et en retranchant une demi-année, de ce quotient. Ce n'est point au moment de la naissance, que la durée moyenne de la vie, est la plus grande; c'est lorsqu'on a échappé aux dangers de la première enfance, et alors elle est d'environ quarante-trois ans. La probabilité d'arriver à un âge quelconque, en partant d'un âge donné, est égale au rapport des deux nombres d'individus indiqués dans la table, à ces deux âges.

La précision de ces résultats exige que pour la formation des tables, on emploie un très-grand nombre de naissances. L'analyse donne alors des formules très-simples pour apprécier la probabilité que les nombres indiqués dans ces tables ne s'écarteront de la vérité, que dans d'étroites limites. On voit par ces formules, que l'intervalle des limites diminue, et que la probabilité augmente, à mesure que l'on considère plus de naissances; ensorte que les tables représenteraient exactement la vraie loi de la mortalité, si le nombre des naissances employées devenait infini.

Une table de mortalité est donc une table des probabilités de la vie humaine. Le rapport des individus inscrits à côté de chaque année, au nombre des naissances, est la probabilité qu'un nouveauné atteindrà cette année. Comme on estime la valeur de l'espérance, en faisant une somme des produits de chaque bien espéré par la probabilité de l'obtenir; on peut également évaluer la durée moyenne de la vie, en ajoutant les produits de chaque année par la probabilité d'y arriver. Ainsi en formant une suite de fractions dont le dénominateur commun soit le nombre des nouveau-nés de la table, et dont les numérateurs soient les nombres inscrits à côté de chaque année; la somme de toutes ces fractions sera la durée moyenne de la vie, dont il faut pour plus d'exactitude, retrancher une demi-année; ce qui est identiquement le procédé que nous venons de donner. Mais cette manière d'envisager la durée moyenne de la vie, a l'avantage de faire voir que dans une population stationnaire, c'est-à-dire telle que le nombre des naissances