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Le choix entre plusieurs propositions relatives au même objet , semble devoir être assujéti aux mêmes règles , que l'élection entre plusieurs candidats. Mais il existe entre ces deux cas, cette différence, savoir, que le mérite d'un candidat n’exclut point celui de ses concurrens; au lieu que si les propositions entre lesquelles il faut choisir , sont contraires, la vérité de l'une exclut la vérité des autres. Voici comme on doit alors envisager la question.

Donnons à chaque votant, une urne qui renferme un nombre infini de boules, et supposons qu'il les distribue sur les diverses propositions, en raison des probabilités respectives qu'il leur attribue. Il est clair que le nombre total des boules, exprimant la certitude, et le votant étant par l'hypothèse, assuré que l'une des propositions doit être vraie; il repartira ce nombre en entier, sur les propositions. Le problème se réduit donc à déterminer les combinaisons dans lesquelles les boules seront réparties, de manière qu'il y en ait plus sur la première proposition du billet, que sur la seconde; plus sur la seconde que sur la troisième, etc.; à faire les sommes de tous les nombres de boules, relatifs à chaque proposition dans ces diverses combinaisons; et à diviser cette somme, par le nombre des combinaisons : les quotiens seront les nombres de boules, que l'on doit attribuer aux propositions sur un billet quelconque. On trouve par l'analyse, qu'en partant de la dernière proposition, pour remonter à la première; ces quotiens sont entre eux, comme les quantités suivantes : 1° l'unité divisée par le nombre des propositions; 2° la quantité précédente augmentée de l'unité divisée

par le nombre des propositions moins une; 3° cette seconde quantité augmentée de l'unité divisée par le nombre des propositions moins deux; et ainsi du reste. On écrira donc sur chaque billet, ces quantités à côté des propositions correspondantes; et en ajoutant les quantités relatives à chaque proposition, sur les divers billets; les somines indiqueront par leur grandeur, l'ordre de préférence que l'assemblée donne à ces propositions.

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Des illusions dans l'estimation des probabilités.

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L'esprit a ses illusions, comme le sens de la vue; et de même que le toucher rectifie celles-ci, la réflexion et le calcul corrigent également les premières. La probabilité fondée sur une expérience journalière, ou exagérée par la crainte et l'espérance, nous frappe plus qu'une probabilité supérieure, mais qui n'est qu'un simple résultat du calcul. Ainsi nous ne craignons point pour de faibles avantages, d'exposer notre vie, à des dangers beaucoup moins invraisemblables que la sortie d'un quine à la loterie de France; et cependant personne ne voudrait se procurer les mêmes avantages, avec la certitude de perdre la vie, si ce quine arrivait.

Les événemens dont nous sommes témoins, ont sur nos jugemens, une influence qui souvent nous trompe dans l'appréciation des causes dont ils dépendent. L'impression vive que nous en recevons, nous laisse à peine remarquer les événemens contraires que d'autres ont observés. On ne peut pas apporter trop de soins à se garantir de cette illusion, l'une des sources principales de nos erreurs.

La coïncidence de quelques événemens remarquables avec les prédictions des astrologues, des devins et des augures, avec les songes, avec les nombres et les jours réputés heureux ou malheureux, etc., a donné naissance à une foule de préjugés encore très - répandus. On ne réfléchit pas au grand nombre de noncoïncidences qui n'ont fait aucune impression, ou que l'on ignore.

. Cependant, c'est le rapport seul des unes aux autres, qui peut donner la probabilité des causes auxquelles on attribue les coïncidences. Si ce rapport était connu, l'expérience confirmerait sans doute, ce que le bon sens et la raison nous dictent à l'égard de ces préjugés. Ainsi le philosophe de l'antiquité, auquel on montrait dans un temple, pour exalter la puissance du dieu qu'on y adorait, tous les ex-voto de ceux qui après l'avoir invoqué, s'étaient sauvés du naufrage, faisait une question conforme au calcul des probabilités, en demandant combien de personnes, malgré cette invocation, avaient péri.

C'est principalement au jeu, qu’une foule d'illusions entretient

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l'espérance, et la soutient contre les chances défavorables. La plupart de ceux qui mettent aux loteries, ne savent pas combien de chances sont à leur avantage, combien leur sont contraires. Ils n'envisagent que la possibilité, pour une mise légère , de gagner une somme considérable; et les projets que leur imagination enfante, exagèrent à leurs yeux, la probabilité de l'obtenir. Ils seraient sans doute, effrayés du nombre immense des mises perdues, s'ils pouvaient le connaître; mais on prend soin au contraire, de donner aux gains, une grande publicité.

Lorsqu'à la loterie de France, un numéro n'est pas sorti depuis long-temps ; la foule s'empresse de le couvrir de mises. Elle juge que

le numéro resté long-temps sans sortir , doit au prochain tirage, sortir de préférence aux autres. Une erreur aussi commune me paraît tenir à une illusion, par laquelle on se reporte involontairement à l'origine des événemens. Il est, par exemple, très-peu vraisemblable qu'au jeu de croix et pile, on amènera croix, dix fois de suite. Cette invraisemblance qui nous frappe encore, lorsqu'il est arrivé neuf fois, nous porte à croire qu'au dixième coup, pile arrivera. Mais loin de nous faire juger ainsi; le passé, en indiquant dans la pièce, une plus grande pente pour croix que pour pile, rend le premier de ces événemens , plus probable que l'autre : il augmente, comme on l'a vu, la probabilité d'amener croix au coup suivant. Une illusion semblable persuade à beaucoup de monde, que l'on peut gagner sûrement à la loterie, en plaçant chaque fois, sur un même numéro jusqu'à sa sortie, une mise dont le produit surpasse la somme de toutes les mises. Mais quand même de semblables spéculations ne seraient pas souvent arrêtées par l'impossibilité de les soutenir; elles ne diminueraient point le désavantage mathématique des spéculateurs, et elles accroîtraient leur désavantage moral; puisqu'à chaque tirage, ils exposeraient une plus grande partie de leur fortune.

Par une illusion contraire aux précédentes, on cherche dans les tirages passés, les numéros le plus souvent sortis, pour en former des combinaisons sur lesquelles on croit placer sa mise avec avantage. Mais vu la manière dont le mélange des numéros se fait à la loterie ; le passé ne doit avoir sur l'avenir , aucune

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influence. Les sorties plus fréquentes d'un numéro ne sont que des anomalies du hasard : j'en ai soumis plusieurs au calcul, et j'ai constamment trouvé qu'elles étaient renfermées dans les limites que la supposition d'une égale possibilité de sortie de tous les numéros, permet d'admettre sans invraisemblance.

Dans une longue série d'événemens du même genre, les seules chances du hasard doivent quelquefois offrir ces veines singulières de bonheur ou de malheur, que la plupart des joueurs ne manquent pas d'attribuer à une sorte de fatalité. Il arrive souvent dans les jeux qui dépendent à-la-fois du hasard et de l'habileté des joueurs, que celui qui perd, troublé par sa perte, cherche à la réparer par des coups hasardeux qu'il éviterait dans une autre situation : il aggrave ainsi son propre malheur, et il en prolonge la durée. C'est cependânt alors, que la prudence devient nécessaire, et qu'il importe de se convaincre que le désavantage moral attaché aux chances défavorables, s'accroît par le malheur même.

Le sentiment par lequel l'homme s'est placé long - temps, au centre de l'univers, en se considérant comme l'objet spécial des soins de la nature, porte chaque individu à se faire le centre d'une sphère plus ou moins étendue, et à croire que le hasard a pour lui des préférences. Soutenus par cette opinion, les joueurs exposent souvent des sommes considérables, à des jeux dont ils savent que les chances leur sont contraires. Dans la conduite de la vie, une semblable opinion peut quelquefois avoir des avantages; mais le plus souvent, elle conduit à des entreprises périlleuses et funestes. Ici, comme en tout, les illusions de l'erreur sont dangereuses, et la vérité seule est généralement utile.

Un des grands avantages du calcul des probabilités, est d'apprendre à se défier des premiers aperçus. Comme on reconnaît qu'ils trompent souvent, lorsqu'on peut les soumettre au calcul; on doit en conclure que sur d'autres objets, il ne faut s'y livrer qu'avec une circonspection extrême. Prouvons cela par des exemples.

Une urne renferme quatre boules noires ou blanches, mais qui ne sont pas toutes de la même couleur. On a extrait une de ces boules, dont la couleur est blanche, et que l'on a remise dans l'urne pour procéder encore à de semblables tirages. On demande la pro

· babilité de n'extraire que des boules noires, dans les quatre tirages suivans.

Si les boules blanches et noires étaient en nombre égal, cette probabilité serait la quatrième puissance de la probabilité ; d'extraire une boule noire à chaque tirage; cette probabilité serait donc ió. Mais l'extraction d'une boule blanche au premier tirage, indique une supériorité dans le nombre des boules blanches de l'urne; car si l'on suppose dans l'urne, trois boules blanches et une noire, la probabilité d'en extraire une boule blanche est ; elle est í, si l'on suppose deux boules blanches et deux noires; enfin, elle se réduit à ), si l'on suppose trois boules noires et une blanche. Suivant le principe de la probabilité des causes , tirée des événemens, les probabilités de ces trois suppositions sont entre elles, comme les quantités , 1, ; elles sont par conséquent égales à nós – Il y a ainsi cinq contre un à parier que le nombre des boules noires est inférieur, ou tout au plus égal à celui des blanches. Il semble donc que d'après l'extraction d'une boule blanche au premier tirage, la probabilité d'extraire de suite quatre boules noires, doive être moindre que dans le cas de l'égalité des couleurs, ou plus petite qu’un seizième. Cependant cela n'est pas, et l'on trouve par un calcul fort simple, cette probabilité plus grande qu'un quatorzième. En effet, elle serait la quatrième puissance de 3, de et de « , dans la première, la seconde et la troisième des suppositions précédentes sur les couleurs des boules de l'urne. En multipliant respectivement chaque puissance, par la probabilité de la supposition correspondante, ou par &, et ń; la somme des produits sera la probabilité d'extraire de suite, quatre boules noires. On a ainsi pour cette probabilité, gd4, fraction moindre que 4. Ce paradoxe s'explique en considérant que l'indication de la supériorité des boules blanches sur les noires , par le premier tirage, n’exclut point la supériorité des boules noires sur les blanches, supériorité qu’exclut la supposition de l'égalité des couleurs. Or cette supériorité quoique peu vraisemblable, doit rendre la probabilité d'amener de suite, un nombre donné de boules noires, plus grande que dans cette supposition, si ce nombre est considérable; et l'on vient de voir que cela commence, lorsque le nombre donné est égal à quatre.

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