trois hypothèses paraîtront également possibles; et comme une boule noire ne peut être extraite que dans la première, la probabilité de l'extraire est égale à un tiers. Si l'on sait que l'urne A ne contient que des boules blanches, l'indécision ne porte plus alors que sur les boules B et C, et la probabilité que la boule extraite de l'urne C sera noire, est un demi. Enfin, cette probabilité se change en certitude, si l'on est assuré que les boules A et B ne contiennent que des boules blanches. Wines

C'est ainsi que le même fait récité devant une nombreuse assemblée, obtient divers degrés de croyance, suivant l'étendue des connaissances des auditeurs. Si l'homme qui le rapporte, en est intimement persuadé, et si par son état et son caractère, il inspire une grande confiance; son récit, quelqu'extraordinaire qu'il soit, aura par rapport aux auditeurs dépourvus de lumières, le même degré de vraisemblance, qu'un fait ordinaire rapporté par le même homme, et ils lui ajouteront une foi entière. Cependant si quelqu'un d'eux a eu occasion d'entendre le même fait rejeté par d'autres hommes également respectables, il sera dans le doute; et le fait sera jugé faux, par les auditeurs éclairés qui le trouveront contraire, soit à des faits bien avérés, soit aux lois immuables de la nature.

C'est à l'influence de l'opinion de ceux que la multitude juge les plus instruits, et à qui elle a coutume de donner sa confiance sur les plus importans objets de la vie, qu'est due la propagation de ces erreurs qui, dans les tems d'ignorance, ont couvert la face du monde. L'astrologie nous en offre un grand exemple. Ces erreurs inculquées dans l'enfance, adoptées sans examen, et n'ayant pour base que la croyance universelle, se sont maintenues pendant très-long-temps; jusqu'à ce qu'enfin le progrès des sciences les ait détruites dans l'esprit des hommes éclairés, dont ensuite l'opinion les a fait disparaître chez le peuple même, par le pouvoir de l'imitation et de l'habitude, qui les avait si généralement répandues. Ce pouvoir, le plus puissant ressort du monde moral, établit et conserve dans toute une nation, des idées entièrement contraires à celles qu'il maintient ailleurs avec le même empire Quellé indulgence ne devons-nous donc pas avoir pour les opinions différentes des nôtres; puisque cette différence ne dépend souvent que des

points de vue divers où les circonstances nous ont placés ! Éclairons ceux que nous ne jugeons pas suffisamment instruits; mais auparavant, examinons sévèrement nos propres opinions, et pesons avec impartialité, leurs probabilités respectives.

La différence des opinions dépend encore de la manière dont chacun détermine l'influence des données qui lui sont connues. La théorie des probabilités tient à des considérations si délicates, qu'il n'est pas surprenant qu'avec les mêmes données, deux personnes trouvent des résultats différens, surtout dans les questions très-compliquées. Exposons ici les principes généraux de cette théorie.

Principes généraux du Calcul des Probabilités.

Le premier de ces principes est la définition même de la pro- Ier Principe. babilité qui, comme on l'a vu, est le rapport du nombre des cas favorables à celui de tous les cas possibles.

Mais cela suppose les divers cas, également possibles. S'ils ne IIe Principe. le sont pas, on déterminera d'abord leurs possibilités respectives dont la juste appréciation est un des points les plus délicats de la théorie des hasards. Alors la probabilité sera la somme des possibilités de chaque cas favorable. Éclaircissons ce principe par un 'exemple.

Supposons que l'on projette en l'air, une pièce large et trèsmince dont les deux grandes faces opposées, que nous nommerons croix et pile, soient parfaitement semblables. Cherchons la probabilité d'amener croix, une fois au moins en deux coups. Il est clair qu'il peut arriver quatre cas également possibles, savoir, croix au premier et au second coup; croix au premier coup et pile au second; pile au premier coup et croix au second; enfin pile aux deux coups. Les trois premiers cas sont favorables à l'événement dont on cherche la probabilité qui, par conséquent, est égale à 2; ensorte qu'il y a trois contre un à parier que croix arrivera au moins une fois en deux coups.

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On peut ne compter à ce jeu, que trois cas différens, savoir, croix au premier coup, ce qui dispense d'en jouer un second;

pile au premier coup et croix au second; enfin pile au premier et au second coup. Cela réduirait la probabilité à, si l'on considérait avec D'Alembert, ces trois cas, comme étant également possibles. Mais il est visible que la probabilité d'amener croix au premier coup est, tandis que celle des deux autres cas est. Le premier cas est un événement simple qui correspond aux deux événemens composés, croix au premier et au second coup, et croix au premier coup, pile au second. Maintenant, si conformé ment au second principe, on ajoute la possibilité de croix au premier coup, à la possibilité de pile arrivant au premier coup et croix au second; on aura pour la probabilité cherchée, ce qui s'accorde avec ce que l'on trouve dans la supposition où l'on joue les deux coups. Cette supposition ne change rien au sort de celui qui parie pour cet événement : elle sert seulement à réduire les divers cas, à des cas également possibles.

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IIIe Principe. Un des points les plus importans de la Théorie des Probabilités, et celui qui prête le plus aux illusions, est la manière dont les probabilités augmentent ou diminuent par leurs combinaisons mutuelles. Si les événemens sont indépendans les uns des autres, la probabilité de l'existence de leur ensemble, est le produit de leurs probabilités particulières. Ainsi la probabilité d'amener un as avec un seul dé, étant un sixième; celle d'amener deux as en projetant deux dés à-la-fois, est un trente-sixième. En effet, chacune des faces de l'un, pouvant se combiner avec les six faces de l'autre : il y a trente-six cas également possibles, parmi lesquels un seul donne les deux as. Généralement, la probabilité qu'un événement simple et dans les mêmes circonstances, arrivera de suite, un nombre donné de fois, est égale à la probabilité de cet événement simple, élevée à une puissance indiquée par ce nombre. Ainsi les puissances successives d'une fraction moindre que l'unité, diminuant sans cesse; un événement qui dépend d'une suite de probabilités fort grandes, peut devenir extrêmement peu vraisemblable. Supposons qu'un fait nous soit transmis par vingt témoins, de manière que le premier l'ait transmis au second, le second au troisième, et ainsi de suite. Supposons encore que la probabilité de chaque témoignage soit égale à celle du fait sera moindré qu'un

huitième; c'est-à-dire qu'il y aura plus de sept à parier contre un, qu'il est faux. On ne peut mieux comparer cette diminution de la probabilité, qu'à l'extinction de la clarté des objets, par l'interposition de plusieurs morceaux de verre; un nombre de morceaux peu considérable, suffisant pour dérober la vue d'un objet qu'un' seul morceau laisse apercevoir d'une manière distincte. Les historiens ne paraissent pas avoir fait assez d'attention à cette dégradation de la probabilité des faits, lorsqu'ils sont vus à travers un grand nombre de générations successives: plusieurs événemens historiques, réputés comme certains, seraient au moins douteux, si on les soumettait à cette épreuve.

Dans les sciences purement mathématiques, les conséquences les plus éloignées participent de la certitude du principe dont elles dérivent. Dans les applications de l'analyse à la physique, les conséquences ont toute la certitude des faits ou des expériences. Mais dans les sciences morales, où chaque conséquence n'est déduite de ce qui la précède, que d'une manière vraisemblable; quelque probables que soient ces déductions, la chance de l'erreur croît avec leur nombre, et finit par surpasser la chance de la vérité, dans les conséquences très-éloignées du principe.

Quand deux événemens dépendent l'un de l'autre; la probabilité IVe Principe. de l'événement composé est le produit de la probabilité du premier événement, par la probabilité que cet événement étant arrivé, l'autre aura lieu. Ainsi, dans le cas précédent de trois urnes A, B, C, dont deux ne contiennent que des boules blanches, et dont une ne renferme que des boules noires; la probabilité de tirer une boule blanche de l'urne C est, puisque sur trois urnes, deux ne contiennent que des boules de cette couleur. Mais lorsqu'on a extrait une boule blanche, de l'urne C; l'indécision relative à celle des urnes qui ne renferme que des boules noires, ne portant plus que sur les urnes A et B; la probabilité d'extraire une boule blanche, de l'urne B est; le produit de par, ou est donc la probabilité d'extraire à-la-fois des urnes B et C, deux boules blanches.

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On voit par cet exemple, l'influence des événemens passés sur la probabilité des événemens futurs. Car la probabilité d'extraire

Ve Principe.

VIe Principe.

une boule blanche, de l'urne B, qui primitivement est, se réduit à, lorsqu'on a extrait une boule blanche, de l'urne C: elle se changerait en certitude, si l'on avait extrait une boule noire, de la même urne. On déterminera cette influence, au moyen du principe suivant, qui est un corollaire du précédent.

Si l'on calcule à priori, la probabilité de l'événement arrivé, et la probabilité d'un événement composé de celui-ci et d'un autre qu'on attend; la seconde probabilité divisée par la première, sera la probabilité de l'événement attendu, tirée de l'événement observé.

Ici se présente la question agitée par quelques philosophes, touchant l'influence du passé sur la probabilité de l'avenir. Supposons qu'au jeu de croix et pile, croix soit arrivé plus souvent que pile. Par cela seul, nous serons portés à croire que dans la constitution de la pièce, il existe une cause constante qui le favorise. Ainsi, dans la conduite de la vie, le bonheur constant est une preuve d'habileté, qui doit faire employer de préférence les personnes heureuses. Mais si par l'instabilité des circonstances, nous sommes ramenés sans cesse, à l'état d'une indécision absolue; si, par exemple, on change de pièce à chaque coup, au jeu de croix et pile; le passé ne peut répandre aucune lumière sur l'avenir, et il serait absurde d'en tenir compte.

Chacune des causes auxquelles un événement observé, peut être attribué, est indiquée avec d'autant plus de vraisemblance, qu'il est plus probable que cette cause étant supposée exister, l'événement aura lieu; la probabilité de l'existence d'une quelconque de ces causes, est donc une fraction dont le numérateur est la probabilité de l'événement, résultante de cette cause, et dont le dénominateur est la somme des probabilités semblables relatives à toutes les causes si ces diverses causes considérées à priori, sont inégalement probables, il faut au lieu de la probabilité de l'événement, résultante de chaque cause, employer le produit de cette probabilité, par celle de la cause elle-même. C'est le principe fondamental de cette branche de l'analyse des hasards, qui consiste à remonter des événemens aux causes.

: Ce principe donne la raison pour laquelle on attribue les évé