trouver le terme général de la série récurrente à laquelle elle donne lieu ; 3° étant donnée une série, découvrir si elle est récurrente; 4° le terme général d'une série récurrente étant donné, trouver la fraction génératrice. Quelques exemples choisis servent à familiariser le lecteur avec les méthodes exposées dans ces deux derniers chapitres. Le chapitre vingtsixième qui a pour titre: Transformation des fractions, est extrait d'un mémoire fort curieux du célèbre Lagrange, mémoire consigné dans le cinquième cahier du Journal de l'École Polytechnique: en partant d'une conclusion de l'auteur, je démontre d'après Haros, l'un de mes collégues à l'ancien Bureau du Cadastre, l'importante proposition de l'incommensurabilité de la circonférence avec le diamètre. · On trouve dans le vingt-septième chapitre, le développement de la théorie donnée par M. Laplace, pour l'élimination au premier degré. Il paraît que Cramer est le premier qui ait remarqué la loi que suivent les valeurs des inconnues dans les équations du premier degré, et qui ait indiqué des méthodes pour construire ces valeurs, sans passer par le calcul de l'élimination. Postérieurement, Bezout, dans sa Théorie générale des équations algébriques, a apporté quelques modifications à ces méthodes; mais elles sont demeurées entre ses mains, comme entre celles de Cramer, le résultat d'une simple induction. Ce n'est seulement qu'en 1772 que M. Laplace, dans les Mémoires de l'Académie des Sciences, a démontré pour la première fois, d'une manière générale et rigoureuse, l'exactitude de ces formules. Nous rapportons ici les démonstrations de MM. Gergonne et Laplace, dont la première n'est que le développement de la seconde. Le chapitre vingt-huitième a pour titre : Théorie élémentaire des probabilités, matière qui jusqu'ici n'a pas trouvé place dans les élémens. Après avoir résumé le plus succinctement possible, le discours qu'on trouve en tête de la Théorie analytique des probabilités, par M. Laplace, et la notice historique qui termine l'Essai philosophique des probabilités, par le même Géomètre, je pose les dix principes qui servent de fondement à cette partie de la science, et après avoir éclairci immédiatement chacun d'eux par la résolution de quelques questions simples, je passe à une série d'applications qui ne supposent cependant que les méthodes exposées dans ce volume, et particulièrement les développemens d'une puissance quelconque entière d'un binome et d'un polynome, et l'interprétation de chacun de leurs termes. En reprenant cette importante matière dans un ouvrage particulier, je lui donnerai des développemens qui ne pouvaient entrer dans le cadre de celuici, qu'il était plus difficile de resserrer que d'étendre. CHAPITRE PREMIER. Une équation de degré quelconque, ne peut avoir que des racines réelles ou des racines imaginaires de la forme abvi, a et b étant des quantités réelles. N 1.On sait (Ire sect., ch. XXVIII) que toute équation de degré impair, est divisible par un facteur réel du premier degré. Il suffit donc de prouver que toute équation de degré pair, est décomposable en facteurs du second degré de la forme x2 + mx +n, met n étant des quantités réelles. 2. Nous ferons précéder la démonstration de cette proposition, de quelques théorèmes préliminaires, Si une équation algébrique a pour racine une quantité de la forme a+bV-1, elle en aura nécessairement une autre de la forme a-b V-1. Soit l'équation xTM— Ax¬~1 + Bx1—2 — Căm▬3.... 4 Tx — V = o... (M) ; a+b Vi étant, par hypothèse, une des racines de cette équation, le premier membre s'évanouira en écrivant a+b=1 pour x dans (M); on aura donc (a+b√—1)TM—A(a+b√—1)m1+B(a-+-b√—1)m2.... ..—V=o... . . (N) : 1 faut donc prouver qu'on a en même temps, (a—b√—1)m—A (a—b√—1)m−1+ B (a—b √ —1)TM—2 ............ .-Vo.....(N'). Or en effectuant les développemens indiqués dans (N), le résultat sera composé de deux espèces de termes, les uns réels donnés par les premiers termes de chaque binome, et par les puissances paires de +b=1; les autres imaginaires provenant des puissances impaires de +b=1; ensorte que le premier membre de (N) sera de la forme V. P+QV— 1, en représentant par P la somme des termes réels, et par Q la somme des coefficiens aussi reels de 1. On aura donc P+QV=1=0; d'où P=0, Q=0, parce qu'il ne peut y avoir destruction entre des termes réels et des termes imaginaires. Maintenant qu'on effectue les opérations indiquées par (N): le résultat sera, comme le précédent, composé de termes réels et de termes imaginaires ; les puissances paires de étant les mêmes que celles de + b, et les premiers termes des binomes étant en outre égaux dans (N) et (N'), on aura de part et d'autre P pour la somme des termes réels : les puissances impaires de bV-1 ne différant que par le signe de celles de + b, on aura — pour la somme des termes imaginaires : ensorte que le résultat de la substitution sera P-Q. Mais on a trouvé P=0, Q=0, donc P-QV-1=0, donc la quantité a-b√ substituée au lieu de x dans la proposée, réduit aussi le premier membre à zéro. Toute fonction algébrique de a ±bi, peut être ramenée à la forme P±QV, P et Q étant des quantités réelles (*). 1o. On a a±b√ = i + a± b′ V=1+ etc. . (a±b√=1)(a' ± b′ √ = 1) (a'b+ ab') V—, =(aa' — bb') Les calculs faits pour démontrer le premier théorème de ce titre, prouvent que la fonction (abV-1) est de la forme PQV—r. Nous ferons voir dans l'un des chapitres suivans que n'admet, dans le cas de n nombre pair, que des racines imaginaires, et que, pour n nombre impair, elle comporte une seule racine réelle. Cela posé, si dans l'expression 20 (*) Un radical imaginaire peut excéder le second degré, comme V—Ã3; |