à desirer comme simple démonstration: mais si on voulait résoudre effectivement une équation en ses facteurs réels de deux dimensions, il serait comme impossible de suivre le procédé indiqué par cette analyse. (Voyez résol. des équat. numér., note X sur la décomposition des polynomes d'un degré quelconque en facteurs réels.)

4. On peut déduire de la proposition précédente que toute fonction algébrique de a+bV—1 est de même forme : car égalant la fonction que l'on considère à une inconnue, et faisant disparaître les radicaux qu'elle contient par l'élévation aux puissances, on aura pour déterminer l'inconnue, une équation de degré pair, dont les racines imaginaires seront de la forme PQ-1. Si la fonction est transcendante, mais développable en une suite de termes qui soient algébriques, ou du moins développables eux-mêmes en séries, jusqu'à ce qu'on n'ait plus qu'une suite de termes algébriques, ces termes seront tous de la forme PQV-1; donc leur somme sera aussi de la même forme. Il resterait donc à prouver que toute fonction algébrique est développable en série.

CHAPITRE II.

Des racines imaginaires.

5. Nous allons assigner des caractères qui servent à recon

naître si une équation a des racines imaginaires et des règles pour déterminer, dans certains cas, le nombre de ces racines.

6. Lorsque toutes les racines d'une équation sont réelles, les carrés de leurs différences sont tous positifs; par conséquent l'équation dont ces carrés seront les racines, n'ayant que des racines positives, aura nécessairement les signes de ces termes alternativement positifs et négatifs (Ire sect., chap. XXVIII); de sorte que si cette condition n'a pas lieu, on sera assuré que l'équation proposée comporte nécessairement des racines imaginaires.

Réciproquement, si l'équation aux carrés des différences, n'a que des variations de signes, la proposée n'admettra que des racines réelles; car si les racines n'étaient pas toutes réelles, il y en aurait au moins deux imaginaires, que nous désignerons par +6 V-1 et a- BV-1; le carré de leur différence serait 46: donc l'équation aux carrés des différences aurait, au moins, une racine réelle négative, et par conséquent, au moins, une permanence (Ire sect., chap. XXIX), ce qui est contre la supposition.

Puisque chaque couple de racines imaginaires de l'équation proposée, introduit, au moins, une racine réelle négative dans l'équation aux carrés des différences, et qu'une racine réelle négative introduit, au moins, une permanence dans les signes, l'équation proposée ne pourra donc avoir un nombre de racines.

imaginaires, plus grand que le double du nombre de permanences qui se trouvent dans l'équation aux carrés des différences. Ainsi on pourra toujours reconnaître à l'inspection des signes de cette équation, si toutes les racines de l'équation proposée sont réelles, et le plus grand nombre de racines. imaginaires que cette dernière peut admettre.

Appliquons ces théorèmes à quelques équations, et soit d'abord celle du second degré

or pour que les racines de la proposée soient réelles, il faut que les signes de l'équation aux carrés des différences, soient alternatifs, ou qu'on ait

conclusions que nous avons déduites immédiatement de l'examen des racines (Ire sect., chap. XIX).

Pour que les racines de l'équation

soient toutes réelles, il faut que l'équation aux carrés des

différences des racines, savoir,

ne contienne

y3 - A'y2+B'y — C′ = o,

que des variations de signes, ou qu'on ait

A'. > 0, B' > 0, C' > 0;

A>

si l'une de ces conditions manque, la proposée ne pourra avoir toutes ses racines réelles; elle en aura donc deux imaginaires.

Nous avons trouvé (Ire sect., chap. XXVIII) que l'équation

comme cette équation n'a pas les signes alternativement positifs et négatifs, on en conclut sur-le-champ que la proposée a nécessairement deux racines imaginaires, et par conséquent une seule racine réelle.

7. On peut, dans certains cas, déterminer le nombre des racines réelles et celui des racines imaginaires. Soient a, b, c, etc. les racines réelles d'une équation;

3o. entre les racines réelles et les racines imaginaires,

Soit m le degré de l'équation proposée : on sait que celui de l'équation aux carrés des différences des racines, est m (m—1) — n; soient p le nombre des racines réelles, 29

2

celui des imaginaires, ensorte que

m = p + 29:

il est facile de voir que parmi les n racines de l'équation aux carrés des différences, il y en aura nécessairement p(p-1)

2

réelles et positives, q réelles et négatives, 2pq imaginaires de la troisième espèce distinguée ci-dessus, et 29 (9—1) imaginaires de la quatrième espèce, parce que du nombre 2q (291) des différences entre toutes les racines imagi

2

naires, on doit retrancher q différences déjà prises : on aura donc en total, 29 (p+q − 1 racines imaginaires.

Qu'on effectue partiellement les produits des facteurs correspondans à chacune des classes de racines ci-dessus; le dernier terme de l'équation aux carrés des différences des racines, sera le produit de tous les derniers termes des produits ainsi formés, st il est clair,