CHAPITRE VI. Evaluation des coefficiens de l'équation aux carrés des différences des racines, en coefficiens de l'équation donnée. 33. LA formation de l'équation qui donne les carrés des différences entre les racines d'une équation proposée, devient, dans quelques cas, très-laborieuse, lorsqu'on a recours à l'élimination (Ire sect., chap. XXVIII). Cette équation étant d'un usage fréquent dans la résolution des équations numériques, il sera bon d'avoir des formules qui donnent ses coefficiens au moyen de ceux de la proposée. a, b, c, etc. ses racines, A', B', C', etc. les coefficiens de l'équation aux carrés des différences: il s'agit donc d'évaluer A', B', C', etc. en A, B, C, etc. On est parvenu (chap V.) aux relations qui donnent les sommes des puissances des racines en coefficiens, et réciproquement; ensorte que la question se réduit à évaluer en A, B, C, etc., les sommes des puissances des racines de l'équation aux carrés des différences; car remplaçant dans les formules précédentes, S., S., S3, etc. par ces expressions, les valeurs de A, B, C, etc. qu'on en déduira, seront celles de A', B', C', etc. Telle est la marche de la solution. Considérons donc cette suite de binomes en nombre m, (x-a)+(x-b)"+ (x−c)"+ (x-d)"+ etc., lesquels développés suivant les puissances descendantes de x, donnent (x—a)"+(x—b)”+ (x—c)"+ (x-d)" + etc. = mx"―n (a+b+c+d+etc. ) x2-1 S., S., S3, etc. ayant même acception que ci-dessus. Si, dans cette identité, on fait successivement a = a,=b, =c, etc., et qu'on ajoute tous les résultats, le premier membre représentera la somme du degré n des différences entre les racines de la proposée, et on aura (a—b)" + (a—c)"+etc. + (b—a)”+ (b—c)"+ etc. +(c—a)" + (c—b)"+ etc. =m(a”+ b2+c"+etc.)—nS, (a”—1+ bπ−1+ c2¬1+etc.) le signe ayant lieu pour n pair, et le signe n impair. Dans l'hypothèse de n nombre impair, le premier membre : vant que se réduit à zéro par la destruction mutuelle de tous les termes, puisque, dans ce cas, les puissances conservent les signes dest racines qui sont égales deux à deux, et de signes différens le second membre devient nul de lui-même, en obserle dernier terme SS. détruit le premier, à cause de S.=m, que l'avant-dernier détruit le second, et ainsi de suite; ensorte que le nombre des termes étant pair, il ne reste rien du second membre. Cette analyse ne fournit donc aucune conclusion dans ce cas. Mais lorsque n est un nombre pair = 2μ, l'identité précédente donne, en désignant son premier membre par 2μs 20 μs en Comme les termes du second membre sont les mêmes à des distances égales de celui du milieu qui contient S.S réunissant ceux qui sont égaux, tous les termes du développement, excepté celui-là, seront multipliés par 2; c'est d'après cette considération qu'on a adopté la notation 20, 25μ qui d'ailleurs représente le double de la somme des puissances des racines de l'équation aux carrés des différences. Divisant donc de part et d'autre par 2, on aura cette formule générale, Pour avoir le coefficient P de ce terme du milieu, on fera m=2μ et n=μ dans le terme général des coefficiens du binome (Ire sect., chap. XII) m. (m—1) (†—2) (m—3) . . . . . . [m — (n−1)] le signe 2 2μ -2 3 μ 2 correspondant à μ nombre pair, et le signe à μ nombre impair, ayant d'ailleurs soin d'observer que le terme qui, pour une valeur de μ, contiendra le produit de deux sommes de même indice, deviendra le dernier terme et devra être divisé par 2. Faisant dans cette formule μ=1, = 2, = =3, etc., on aura en sommes des puissances des racines de la proposée, et conséquemment en coefficiens A, B, C, etc., les sommes des puissances première, seconde, troisième, etc. des racines de l'équation aux carrés des différences, c'est-à-dire, (a—b)2+(a—c)2 + etc. + (b-c) + etc.",, etc. pour On remarquera que nous avons employé la notation avoir, par σ, 2, 3, etc., les représentations des premières puissances et des puissances successives des racines en question. Remplaçant dans les formules (M), S,, S2, S3, etc. par, 2, 3, etc. qu'on sait maintenant évaluer, et changeant A, B, C, etc. en A', B', C', etc., on obtiendra celles-ci, parce que l'équation aux carrés des différences, est du degré m (m-1) 2 = pour en déduire les coefficiens A', B', .σ C', etc., il faut connaître les sommes 1, ce qui exige qu'on connaisse aussi S,, S2......S,,, ou qu'on ait traité m (m 1) équations entre ces dernières sommes m(m-1) et les coefficiens de la proposée : cela fait, on aura 2 quantités......, à évaluer ; et enfin m (m 2 --- 1) coefficiens A', B', C', etc. à calculer, ce qui donne en tout Soit, par exemple, l'équation déjà considérée (6), savoir, l'équation aux carrés des différences sera de même degré et de la forme |