.3 en y, En supposant que C soit un polynome du degré et que c soit un polynome du troisième degré, l'équation finale sera du degré 3×3, ou du neuvième degré en y. 45. On doit à M. Kramp, doyen de la faculté des Sciences de l'Académie de Strasbourg, la méthode suivante, propre à faciliter l'élimination dans les équations des degrés supérieurs, méthode sur laquelle on trouvera plus de détails dans le onzième numéro du tome premier des Annales de Mathématiques. Soit l'équation λx” = ax¬¬1 + bx¬¬3+ cx”¬3 + dx”−1+ etc... . . . (N) ; si on la multiplie de part et d'autre par ax, en mettant pour Ax" dans le second membre, sa valeur tirée de la proposée, on aura λ2x2+1=(aa+λb) x"¬1+(ab+λc) x2-2+(ac+rd) x2¬3+ etc., équation que nous écrirons ainsi : λ2x2+1 = a2x2¬1 + b2x22 + c'2x2-3 + etc, ; multipliant de nouveau par λx, en mettant toujours pour ax dans le second membre, sa valeur donnée par la proposée, on trouvera λ3 ̧x+3=(aa'+λb′).x2-1+(ba′+xc′)x”-2+(ca'+λd')x-3+etc., équation que nous écrirons ainsi a" = aa" + xba' + x2ca + x'd, a1= aa" + λba"+ x2ca' + x3da + x1e, etc.; babac, b" ab' + xbb + x2d, b" = ab" + abb' + x2cb + λ3e b1v=ab" + xbb" + x2cb' + x3db + x1ƒ, etc.; c′ = ac + xd, c" = ac' + abc + x2e, c" = ac" + λbc′ + x2cc + x3ƒ, c1= ac" + abc" + a2cc′ + x3dc + x4g, etc., toutes ces valeurs formant des séries récurrentes. Si, outre l'équation (N) du degré n, on a une équation (M) du degré m en x, m étant > n, en mettant dans cette dernière, pour x", etc., 1. les valeurs déduites de la première, par le procédé que nous venons d'exposer, elle ne sera plus que du degré n — On aura donc, au lieu des proposées, des équations des degrés n et n1, qui, en leur appliquant le même procédé, en feront trouver une nouvelle du degré n-2. En poursuivant de la même manière, on parviendra enfin à une équation du degré zéro; ce sera l'équation de condition qui devra exister entre les coefficiens des deux proposées, pour qu'elles puissent subsister ensemble, ou pour qu'il y ait un facteur commun entr'elles ce sera conséquemment l'équation finale, si les coefficiens des deux proposées sont fonctions d'une autre inconnue y, par exemple. La question se trouvant ainsi réduite à éliminer l'inconnue entre deux équations dont les degrés ne diffèrent que d'une unité, nous prendrons, comme type, le système des deux équations Appliquant la méthode précédente à ces deux équations, on en déduira une du degré n—2; et si l'on désigne cette der Nous nous bornerons à une seule application. On propose trouver le facteur commun aux deux polynomes 5x5 27x4 + 22x3 + 17x2- 49x + 24, 31x+6: de 3o équat.... 0 = 73x3 — 358x2 + 184x + 21, après la division par 2. Équat. données... 0 = 3xt- 73 Ab-Ba= b=-358 C = 46 c= 184 D=-31 d= 21 532 a = 14382 Ac-Ca--2806 b=-71910 Ad-Da= 2326 c'= 43146 - On conclut de là que x2 — 5x + 3 est le diviseur commun des deux polynomes proposés. On peut appliquer cette méthode à la recherche des facteurs. égaux des équations numériques, et on pourra prendre l'équation 0=x9+2x3+x2+6x+7x5—2x4+3x3+ 2x2— 12x traitée (Ire sect., chap. XXVII), et qui a pour dérivée -- 8, 0=9x8+16x7+7x+36x3+35x1— 8x3+ 9x2+ 4x —— 12; CHAPITRE IX. De quelques théorèmes sur les racines de l'équation y"-10. Le nombre a-1 est divisible par P, étant un nombre premier, et a un nombre moindre que p. 46. Les théorèmes que nous allons démontrer, étant né cessaires et même indispensables pour l'intelligence des cha→ pitres suivans, nous avons cru devoir plutôt en faire la matière d'un chapitre, que de les donner à mesure que le besoin l'exigera, pour ne pas embarrasser ou arrêter l'exposition de la théorie principale. 47. Nous observerons d'abord que les équations binomes y"-1=0, y+1=0, auxquelles on peut rappeler celles-ci, x-α=0, x+a"=0; ne comportent pas de racines égales, puisque le binome +1 ne peut avoir de facteur en x, commun avec la dérivée mx-(Ire sect., chap. XXVII). Soit a une des racines de l'équation y"—1=0, et supposons que m soit un nombre premier toutes les puissances de a jusqu'à a", auront des valeurs différentes, à moins que l'on n'ait 1; car si deux puissances a", a" étaient |