étant divisés par p, donnent des restes différens, et donnent, par conséquent, tous les nombres moindres que p pour restes, puisque ces restes sont au nombre de p-1; car si deux puissances aTM, am' donnaient le même reste, m et m' étant <p et m'<m, leur différence am am' = am' (am—m' — 1 ), serait nécessairement divisible par p; mais a n'étant pas divisible, et p étant premier, il faudrait que am-m' -1 fût divisible par p; donc il y aurait une puissance am-m' moindre que ap1 qui, divisée par p, donnerait l'unité pour reste; par conséquent, a ne serait pas racine primitive contre l'hypothèse. On n'a pas, jusqu'à présent, de méthode directe pour trouver les racines primitives pour chaque nombre premier; mais on peut toujours les trouver facilement par le tâtonnement. Euler en a donné dans les Commentaires de Pétersbourg, tome XVIII, une table pour tous les nombres premiers jusqu'à 37, que nous placerons ici. 93 29 31 5, 7, 10, 11, 13, 14, 15, 17, 20, 21, 2, 3, 8, 10, 11, 14, 15, 18, 19, 21, 26, 27, 3, 11, 12, 13, 17, 21, 22, 24, 37 2, 5, 13, 15, 17, 18, 19, 20, 22, 24, 32, 35, où l'on remarque que le nombre de ces racines primitives, pour un nombre premier p donné, est toujours égal à celui des nombres moindres que p, et premiers à p-1. On peut voir, sur ce sujet, la section troisième des Disquisitiones Arithmetica de M. Gauss, ouvrage excellent publié en 1801, et qui a été traduit en français par M. Poulet-Delisle, sous le titre de Recherches arithmétiques. = Ainsi pour p 19, nombre pour lequel la plus petite racine primitive est 2, on a ces puissances de 2, et ces restes de la division par 19, puissances 29, 210, 21, 212, 213, 214, 215, 216; 21. restes 18, 17, 15, 11, 3, 6, 12, 5, 10. On trouve, en effet, parmi les restes, la suite des nombres naturels, depuis 1 jusqu'à 18=p-1, sans rencontrer le reste 1, si ce n'est pour 2°.; le premier reste 1 est donné par la division de 218 par 19. Au reste, il nous suffira de connaître une seule des racines primitives pour un nombre premier donné, et il sera toujours plus avantageux, pour le calcul, d'en connaître la plus petite, comme on le verra dans le treizième chapitre. CHAPITRE X. Résolution générale des équations. 50. Le but de la résolution générale des équations, est de trouver pour toutes les équations d'un même degré, les fonctions des coefficiens de ces équations, propres à en représenter toutes les racines : ce problème a été résolu par les premiers algébristes sur les équations des second, troisième et quatrième degrés; ils parvinrent à transformer l'équation à résoudre en une autre susceptible d'être résolue à la manière d'une équation d'un degré moindre, et à déterminer, au moyen des racines de cette nouvelle équation qu'on a nommée réduite, toutes celles de la proposée. Mais, dès le troisième degré, ces fonctions racines se présentent sous une forme telle, qu'il est impossible d'en tirer les valeurs numériques des racines par la simple substitution de celle des coefficiens, dans le cas même où toutes les racines sont essentiellement réelles : c'est cette difficulté que les analystes désignent par le nom de cas irréductible; elle aurait lieu, à plus forte raison, dans les équations des degrés supérieurs, s'il était possible de les résoudre par des formules générales. Heureusement, ajoute M. Lagrange, on a trouvé moyen de la vaincre dans les troisième et quatrième degrés, par la considération de la trisection des angles et par le secours des tables trigonométriques, ainsi qu'on le verra dans l'un des chapitres suivans; mais ce moyen qui dépend de la division des angles, n'est applicable, dans les degrés plus élevés, qu'à une classe très-limitée d'équations; et on peut assurer d'avance, que quand même on parviendrait à résoudre généralement le cinquième degré et les suivans, on n'aurait par là que des formules algébriques, précieuses en elles-mêmes, mais trèspeu utiles pour la résolution effective et numérique des équations des mêmes degrés, et qui, par conséquent, ne dispenseraient pas d'avoir recours aux méthodes arithmétiques exposées dans la première, scction. La résolution générale se réduit donc à la recherche d'une fonction des racines, qui dépende d'une équation d'un degré moindre, et dont les racines donnent facilement celles de la proposée. 51. Soit d'abord l'équation du second degré x2 + px + 9 = 0, et nommons x' et x" ses deux racines; on a d'abord il ne s'agit donc plus que d'avoir la valeur d'une autre fonction des racines, qui, combinée avec la précédente, détermine chacune d'elles au moyen d'équations du premier degré seulement: cette fonction sera donc de la forme Ax′ + Bx", A et B étant des coefficiens indépendans des racines x' et x". La fonction Ax+Bx" est susceptible de deux combinaisons dont la seconde s'obtient en changeant dans la première x' en x", et réciproquement; elle dépend donc d'une équation du second degré, excepté le cas où A = B; mais alors on retombe sur la somme des racines, qui est déjà connue. Puisqu'on est conduit pour la détermination de la fonction AxBx" à une équation du second degré, il faut que cette équation puisse se résoudre par une simple extraction de Ja racine carrée; mais alors les deux racines deviennent égales et de signes contraires : il faut donc déterminer les coefficiens A et B de manière que la fonction Ax' + Bx", reste la même, 1 au signe près, en y changeant x en a", et réciproquement, condition qui donne Ax' + Bx" (Ax" + Bx'): 1 cette équation devant avoir lieu, quels que soient les nombres et x", donne, en égalant les coefficiens de x', A== B; comparant ensuite ceux de x", on retrouve la même relation; -B étant la seule à laquelle il ensorte que la condition A= faille satisfaire, on pourra prendre La fonction cherchée sera donc x-x", et la désignant par z, sa valeur dépendra de l'équation [z — (x′ — x′′)] [( z − ( x" — x′)] = 0, dont les coefficiens pourront être exprimés d'une manière rationnelle, au moyen de ceux de la proposée, puisque les racines xet x" y entrent de la même manière. En effectuant les multiplications, on trouve en observant que x′+x"=-p; on a d'ailleurs |