pour éliminer y, je multiplie la dernière par y, et mettant pour y3 sa valeur déduite de la première, j'ai je multiplie de même celle-ci par y, et remplaçant y3 par u, xy2 - buy — au = 0... . . (4). Des deux équations (2) et (3), je, déduis, suivant la méthode des équations du premier degré à deux inconnues; les valeurs de y2 et dé y que je substitue dans (4), et il vient, après les réductions, équation du troisième degré, sans second terme. On voit qu'après avoir éliminé y entre les équations (2) et (3), y ne renfermera x qu'à la première puissance, ensorte que dans y entrera x, et la substitution pour y et pour y dans (4), donnera un polynome du troisième degré en x: ce raisonnement est facile à généraliser. On observera encore qu'en comparant le résultat de l'élimination de y, entre les équations (1) et (2), avec une équation donnée du troisième degré, sans second terme, on n'aura pour évaluer les trois indéterminées a, b et u, que deux équations on pourra donc disposer de u, qu'on pourra faire 1. Dans cette hypothèse, on tombe sur les équations auxiliaires 1 = 0, x = ay + by2. Il reste à faire voir que l'équation finale sera sans second terme. A cet effet, désignons par a, 6, 7, d, les quatre racines, autres que l'unité, de l'équation ensorte que, pour l'équation du cinquième degré, les cinq expressions y=vu, y=avu, y=6vu, y=rvu, y=♪ỷu, et les cinq racines x = q √ u + b ỷ w2 + c √ w3 + d Vu2, deviendront x= 5 a Vu + b x = a« Vu+ b«2 u 5 Vu2 + c Vw3 + d Vut, Vu2 + ca3 Vu3 + du1 Vut, x = ab Vu+ bb2 Vu2 + c63 Vu3 + d6+ √ut, 5 5 5 x = ay Vu+ by Vu2 + cy3 Vu3 + dyt Vut, 5 5 x = að Vu+ b♪a Vu2 + cd3 Vu3 + do Vut; mais en désignant par la somme des premières puissances des racines, on a + (1 + æ3 + 63. + g3 +No3) c √u3 + (1 + œ2 + 6+ + gt + d) d Vut. or (47) les coefficiens entre parenthèses sont nuls; conséquem-mento: donc le coefficient du second terme de l'équation finale en x, est nul, ce qu'il s'agissait de prouver. CHAPITRE XI. Résolution par les lignes trigonométriques des équations x"a"=0, xam-2px"+q=0: si on pose xay, on aura aTMyTM = am = 0, d'où y=1=0. Ainsi la résolution de l'équation xam est réduite à celle de y1=0, et on repassera des racines de celle-ci aux racines de la première, en multipliant chaque racine y par a. Nous ne nous occuperons ici que de la résolution trigonométrique de l'équation yo, nous réservant de donner dans l'un des chapitres suivans, la résolution algébrique de l'équation y"-10. 62. Nous démontrerons d'abord ce théorème fondamental, (cos sin. V-1)" (cos mo sin mo. V-1), m étant un nombre quelconque, et le rayon étant l'unité : mais d'abord nous l'établirons pour m, nombre entier, et nous le généraliserons ensuite. 1o. Si l'on multiplie ensemble deux facteurs tels que cos + sin p. V-1, cos + sin '. V-1, on aura pour produit, après les réductions, cos (+)+ sin (+). V-1, lequel est de même forme que chacun des facteurs; il est remarquable que la multiplication de ces sortes de quantités s'exécute en ajoutant seulement les arcs, ce qui est une propriété analogue à celle des logarithmes: On en conclura successivement 20+ (cossin sin .V-1)= cos 20 + sin 20. V-1, (cos + sin .V-13 cos 30+ sin 30. V— 1, (cos + sin. V-1) = cos 40+ sin 40. V-1, et, en général, m étant un nombre entier positif, il sera démontré que (cos sin 9. V— 1)TM cos mo sin mo. V— 1, et en prenant V- 1 avec le signe mule conjuguée, on aura cette for cos sin .— 1 = f(9), f désignant fonction de; on aura costsin t.V−1 = f(t); mais le produit des deux premiers membres, étant cos (+1)+ sin (+1). V-1, c'est-à-dire, composé en l'un des facteurs l'est en +t, de la même manière que ou en t, on aura nécessairement cos (4+1) + sin (+t).V-1 = f(9 + t), c'est-à-dire, ƒ (9), × ƒ (t) = f(¢+t) ; équation de définition des fonctions exponentielles : d'où l'on conclut que f(4) et f(t) sont de telles fonctions, et qu'on a ƒ (9) = a, ƒ (t) = a', c'est-à-dire, Maintenant il nous est facile de déduire de là le théorème de Moivre, m étant un nombre quelconque. En effet, soit qu'on élève a, à la puissance m, ou qu'on écrive mo pour, on obtient toujours ame qu'on opère de l'une et de l'autre manière sur le premier membre de l'identité précédente, et on obtiendra les deux suivantes, cos mosin mo. V— 1 = aTMo, qui, en tenant compte du double signe du radical, donnent 'celle-ci (cos sin .V-1)m cos. mo sin mo. V-1.....(1). : · COS m. sin ·V— 1 = (cos q' ± sin &. √— 1)" ... ... .... ... ... ... (2) m De la formule (1), on peut déduire sur-le-champ les deux suivantes, 2 cos m2 = (cos +sino. V—1)"+(cos —sin 0. V—1)", 2 sin mo. V-1 (cos +sin V-1)-(cos -sin 9. V-1)". 63. Ces préliminaires établis, soit l'équation proposée |