75. Nous avons annoncé l'application de la méthode (54) x” à la résolution algébrique de l'équation x-1=0: tel est le sujet de ce chapitre qui est encore tiré de la Résolution des équations numériques. 76. Nous avons démontré (chap. IX) que a que nous remplacerons ici par r, étant une racine autre que l'unité, de l'équation xm 1 = 0, on pouvait représenter ses m-1 autres racines par les termes de la série géométrique 77. M. Gauss a eu l'idée heureuse de substituer à la progression arithmétique des exposans, une progression géométrique, en vertu du fameux théorème de Fermat, démontré (chap. IX). Soit donc a une racine primitive pour le nombre premier m, de manière que les m―1 termes de la progression géométrique étant divisés par m, donnent pour restes tous les nombres moindres que m— 1 et dont l'unité sera le dernier : les m-1 racines pourront, en faisant abstraction de l'ordre, être représentées dont rest supposé racine, 1, il est visible qu'à la place de chaque puissance de r, commer, lorsque >> m, on pourra toujours prendre la puissance r', étant le reste de la division de à par m: ainsi, dans la série précédente, on pourra toujours réduire les exposans de r, à leurs restes, après la division par m, restes que nous avons vu comprendre tous les nombres 1 2 3.....m 1, mais dans un ordre différent de l'ordre naturel, ce qui est indifférent pour les racines r, r2, r3, etc. Par exemple, l'équation étant 1 = 0, et r une des racines, toutes les autres racines, différentes de l'unité, seront nous avons vu (49) que les mais 2 étant la plus petite racine primitive par rapport à 19, nombre qu'on prendra pour a restes de la division par 19, des nombres 2o, 2', 22.......2", étaient la suite des nombres depuis jusqu'à 18, ensorte qu'on peut prendre les nombres ao, a', aa..............a" pour les exposans de r. a2......a1 L'avantage de cette nouvelle forme de racines, consiste en ce que si, dans la série des racines si on y met ra1 à la place de r, elle devient En effet, il est visible que par la substitution de r pour r, ♫ devient (ra)a = a; a2 devient (r)a2 =a3, et que le dernier terme - devient (ra) am-2 = pam-1=r, parce que le reste de la division de am- par m est l'unité. De même, par la substitution de 4 en place de r, le terme r devient (ra) ra3, ainsi de suite, et le dernier terme TMa—” devient (a2)am—* =pam = pa11a=r, parce que le reste de la division de am- par m, est l'unité. Cela posé, si pour résoudre l'équation x3-1+xm−2+ xπ-3 +.....+ dont le premier membre est le quotient de x-1 par x-1, et dont les racines sont ..... métant = 1, en vertu de l'équation x-1=0, on emploie la méthode (54 et suiv.), on aura, en remplaçant x', x", x", etc. par r, r2, etc. t=r+ar2 + a3μa2 + æ3μa13 +..... où est une des racines de l'équation si on développe la puissance m-1 de t, ayant soin de. rabaisser les puissances de a et r au-dessous de am-1 et r”, à cause de am-1 et 1, on aura cette fonction or donnée suivant les puissances de a, 0 === 20 + až + a21⁄2” + ... .......+am-28 (m2), où %, %, %", etc. seront des fonctions rationnelles et entières de r, qui ne changeront pas par la substitution de “, ra2, ra3, etc. en place de r, puisque nous avons démontré (54 et suiv.) que ces quantités, lorsqu'elles étaient fonctions de x', x", x", etc., étaient invariables, lorsqu'on augmentait chaque accent de un, deux, trois, etc. accens, ce qui répond aux changemens de r en ra, de ren, etc., de r en ra3, ren 43, etc., en observant que remplacer r par ra, c'est remplacer par ra3, a par ra3, etc.; qu'aussi changer r en. r, c'est changer r en ras, ra2 en ra4, etc. On peut démontrer que chacune des fonctions °,,", etc. est réductible à la forme A+B(r+r+ p22 +.....+ pam—3), A et B étant des quantités connues indépendantes de r: c'est ce que nous ferons voir dans un cas particulier, parce qu'il sera facile de généraliser la conclusion. Supposons donc qu'il s'agisse de l'équation x2 + x3 + x2 + x + 1 = 0, dont les racines seront r, r, r3, r. Puisqu'on a ici m=5, on trouve par la table (49) que la plus petite racine primitive est 2, de sorte qu'on a a 2, et que les racines dont il s'agit, peuvent être représentées par les puissances lesquelles se rabaissent, à cause de 51, à celles-ci, en prenant, au lieu de 238, le reste de la division de 8 en prenant pour une racine de l'équation y4-1=0, de manière que l'on ait at 1. = Pour trouver la fonction e, il faut élever t à la quatrième puissance, et développer suivant les puissances de a, en rabaissant celles-ci au-dessous de a, et celles de r au-dessous de r, par les conditions at = 1,751. Ce calcul qui n'a d'autres difficultés que la longueur, mais qui peut cependant s'exécuter assez rapidement, en y mettant de l'ordre, donne 0 = 12+13 (r+r2+r3+r+)+ a [16 + 12 (r+ra2+r3+r1)] + a2 [ 24+ 10 (r+r2+ r3+ r1)] + 86×3 (r+ r2+r3+r1) : donc है ૐ = 12 + 13 (r+r2+r3+r4)=12⋅ = 13=-1, 1612 (r+ r2+r3+r+) = 16 — 12 = 4, "= 24 + 10 (r+r2+r3+r+) = 24 — 10 = 14, en observant qu'à cause de x2 + x3 + x2 + x + <= 0, 1; conséquemment, 1 + 4 + 14a2 16a3. Ainsi, dans ce cas, et généralement, les fonctions,,", etc. sont données en nombres. |