Prenons l'équation réciproque de la forme la plus générale, x+pcx+qc2x2+..... ..+qcm2x2+pcm-x+c=0, ce qui revient au même,

ou,

x+c+pcx (x2+cm3)+qc2x2 (x++c")+etc.=o: cette équation est divisible par x+c, toutes les fois que m est impair; et comme le quotient est une équation réciproque dont le degré est pair, il s'ensuit que la résolution des équations de ce genre, est ramenée à celle des équations réciproques de degré pair, qui sont toutes représentées par la formule

x2+c2+pcx(x2r—2+c2r−2)+qc2x2(x2r¬4+c2r−4)+ etc.—o: on réduit la résolution de celle-ci à des équations du degré r, en la divisant par c'x', ce qui donne

et substituant pour + et les autres quantités entre pa-renthèses, les valeurs qu'on trouve en supposant successivement n=r, n=r—1,n=r-2, etc. dans l'équation (N). L'équation en z qui résultera de ces substitutions, sera du degré

suivant que m sera pair ou impair; or,

dès

qu'on a les r valeurs de Z on trouve 2r valeurs de x, en vertu de l'équation

et on a en outre xc dans le cas de m impair.

Ainsi la proposée étant

x2+pcx+qc2x2+sc3x++ sc+x3+qc3x2+pc3x+c2=0,

c'est-à-dire,

(x2+c2)+ pcx (x3+c3)+qc2x2 (x3+c3)+sc3x3 (x+c)=0; le quotient de la division par x+c, sera (x+c)+(p—1) cx (x1+c1)+(1−p+q) c2x2 (x2+ c2) +(sq+p− 1) c3x3 = 0,

qui divisé par c3x3, donne

(~~+3)+(p− 1) (~~ + =) +(1−p+9) (~~+ :)

z3 + (p − 1) z2 +(9−p−2) z+(s−q−p+1)=0. Cette équation donnera trois valeurs de z, et la dernière des trois précédentes en x, laquelle devient

x2 - czx + c2 = o

fournira deux valeurs de x pour chacune de ces trois racines z; ce qui fera, en totalité, les six racines de la proposée.

CHAPITRE XIV.

De quelques procédés de décomposition des équations en facteurs d'un degré supérieur au premier.

83.ON a quelquefois besoin de décomposer effectivement

une équation en facteurs d'un degré supérieur au premier. Nous avons prouvé (3) la possibilité de cette décomposition, et nous nous proposons, dans ce chapitre, de faire connaître les divers procédés que l'on peut employer à cet effet.

Prenons pour premier exemple une équation du quatrième degré, délivrée de son second terme, telle que

x2 + px2 + qx + r = 0,

qu'on se propose de décomposer en facteurs du second degré, qui seront de la forme

(x2+ax+b) (x2 — ax + c) = 0,

en observant qu'on n'a supposé les seconds termes affectés des mêmes coefficiens, pris avec des signes contraires, qu'à l'effet d'avoir un produit sans second terme, comparable avec la proposée. On aura donc l'identité

x+px2+qx+r+r=x++(b+c-a2) x2+a(c—b)x+bc=0, d'où résultent les égalités entre les coefficiens

Il faut donc, 1°. que, pour chaque couple de diviseurs c et b,
la différence c- b soit un diviseur de q ou du coefficient
de x dans la proposée, et que de plus, le quotient soit
positif; 2°. que
le coefficient de x2, retranché de la somme
c+b, ait pour racine le quotient précédent. Si l'une de
ces conditions manquait, la décomposition supposée serait
impossible.

Faisons une application à l'équation

100,

Les diviseurs de 91 sont 1, 7, 13, 91, parmi lesquels il
n'en existe que deux dont les différences divisent
et donnent un quotient positif : ces diviseurs sont - 7 et 13

mais on doit avoir encore

b+c―p = 25,

condition qui ne peut avoir lieu qu'en supposant

c= 7 et b = +13:

en a donc pour les facteurs du second degré,

250 to 13 = 0, 23-5.x

7 = 0.

1

Reprenons les égalités

bcr, c+b=p+ a3,

cb=
c — b = 1/1,

trouvées précédemment : si l'on ajoute les deux dernières, puis qu'on retranche l'une de l'autre, il viendra

mais cette équation n'ayant que des variations de signes n'admet que des racines positives, et, à cause de a′ = aa, on ne doit essayer comme diviseurs de 10000, que des carrés,